Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 02 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 5

Suport teoretic:

Limite de functii,integrale definite,functii trigonometrice,inverse.

Enunt:

Sa se calculeze:

L=lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}{\frac{\int_{cosx}^{sinx}{arcsint{dt}}}{sinx-cosx}}.L=lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}{\frac{\int_{cosx}^{sinx}{arcsint{dt}}}{sinx-cosx}}.

Raspuns:

L = π/4.

Rezolvare:

Se constata usor cazul exceptat 0/0, pentru eliminarea caruia procedam astfel:

Functia elementara f(t) = arcsint, cu tЄ[-1;1] admite o primitiva F, prin urmare putem

scrie succesiv (prin folosirea formulei Leibniz-Newton si a regulii l'Hospital):

L=lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}{\frac{\int_{cosx}^{sinx}{arcsint{dt}}}{sinx-cosx}}=(\frac{0}{0})=lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}{\frac{F(sinx)-F(cosx)}{sinx-cosx}}=(\frac{0}{0})=L=lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}{\frac{\int_{cosx}^{sinx}{arcsint{dt}}}{sinx-cosx}}=(\frac{0}{0})=lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}{\frac{F(sinx)-F(cosx)}{sinx-cosx}}=(\frac{0}{0})=

=lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}{\frac{F^{=lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}{\frac{F^{'}{(sinx)}\cdot{(sinx)^{'}}-F^{'}{(cosx)}\cdot{(cosx)^{'}}}{{(sinx-cosx)}^{'}}}=

=lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}{\frac{{arcsin(sinx)}\cdot{cosx}+{arcsin(cosx)}\cdot{sinx}}{cosx+sinx}}=\cdots=\frac{\pi}{4}.=lim_{x\rightarrow{\frac{\pi}{4}}}{\frac{{arcsin(sinx)}\cdot{cosx}+{arcsin(cosx)}\cdot{sinx}}{cosx+sinx}}=\cdots=\frac{\pi}{4}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan