Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 25 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 5

Suport teoretic:

Logaritm natural,metoda reducerii absurd.  

Enunt: 

Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie:

{x}\star{y}=ln(e^x+e^y).{x}\star{y}=ln(e^x+e^y).

a) Sa se arate ca legea este asociativa;

b) Sa se arate ca nu exista element neutru.

Demonstratie:

Mai intai sa observam ca: 

{{x}\star{y}=ln(e^x+e^y)}\Leftrightarrow{e^x+e^y=e^{{x}\star{y}}=e^{ln(e^x+e^y)}}.{{x}\star{y}=ln(e^x+e^y)}\Leftrightarrow{e^x+e^y=e^{{x}\star{y}}=e^{ln(e^x+e^y)}}.

a)\;({x}\star{y})\star{z}={[ln(e^x+e^y)]}\star{z}=ln[e^{ln(e^x+e^y)}+e^z]=ln(e^x+e^y+e^z)=a)\;({x}\star{y})\star{z}={[ln(e^x+e^y)]}\star{z}=ln[e^{ln(e^x+e^y)}+e^z]=ln(e^x+e^y+e^z)=

ln[e^x+(e^y+e^z)]=ln[e^x+e^{ln(e^y+e^z)}]=ln[e^{{x}\star{ln(e^y+e^z)}}]={x}\star{[ln(e^y+e^z)]}=ln[e^x+(e^y+e^z)]=ln[e^x+e^{ln(e^y+e^z)}]=ln[e^{{x}\star{ln(e^y+e^z)}}]={x}\star{[ln(e^y+e^z)]}=

={x}\star{({y}\star{z})},={x}\star{({y}\star{z})},

adevarat oricare ar fi x, y, z reali.

b) Presupunem ca exista elementul neutru, notat ε; conform definitiei avem:

{{x}\star{\varepsilon}=x}\Leftrightarrow{ln(e^x+e^{\varepsilon})=x}\Leftrightarrow{e^x+e^{\varepsilon}=e^x}\Leftrightarrow{e^{\varepsilon}=0},{{x}\star{\varepsilon}=x}\Leftrightarrow{ln(e^x+e^{\varepsilon})=x}\Leftrightarrow{e^x+e^{\varepsilon}=e^x}\Leftrightarrow{e^{\varepsilon}=0},

evident fals.

Presupunerea nu este, deci, adevarata.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan