Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 4

Suport teoretic:

Functii cu acolada,functii gradul 2,continuitate,derivabilitate,puncte unghiulare,

semitangente,ecuatia dreptei,arii.

Enunt:

Fie functia cu acolada f:R - > R, definita prin legea:

f(x)=\begin{cases}x^2-2x-3,\;x\le{4}\\-x^2+4x+5,\;{x}>{4}\end{cases}.f(x)=\begin{cases}x^2-2x-3,\;x\le{4}\\-x^2+4x+5,\;{x}>{4}\end{cases}.

1) Sa se arate ca reprezentarea grafica a functiei f admite un punct unghiular M(a,b).

2) Sa se determine ecuatiile semitangentelor la grafic in punctul M(a,b).

3) Sa se calculeze aria suprafetei triunghiulare, determinata de semitangente si

axa absciselor.

Raspuns:

Aria[MAB] = 125/4.

Rezolvare:

1) Intrucat intr-un punct unghiular functia este continua, dar nu este derivabila

(derivate laterale diferite, cel putin una finita), singurul punct ce trebuie cercetat este

x = 4, anume punctul care separa cele doua restrictii de functii de gradul al doilea.

Se constata usor ca :

a) functia f este continua in x = 4: fs(4) = fd(4) = f(4) = 5

b) f'(x) = 2x - 2, x < 4 = > f's(4) = 6 si

f'(x) = - 2x + 4, x > 4 = > f'd(4) = -4.

Rezulta ca M(4;f(4)) = M(4;5) este punct unghiular.

2) Tinand cont de 1) si de ecuatia unei drepte, cand i se cunoaste un punct si panta,

rezulta ecuatiile celor 2 semitangente:

a) s1: y - 5 =  f's(4)·(x - 4), xЄ(-oo,4] < = >   y - 5 =  6·(x - 4), xЄ(-oo,4]  si

    s2: y - 5 =  f'd(4)·(x - 4), xЄ(4,+oo) < = >  y - 5 = - 4·(x - 4), xЄ(4,+oo).

3) Luand y = 0 in ecuatiile celor doua semitangente, gasim imediat cele doua varfuri,

de pe axa absciselor,ale triunghiului a carui arie se cere: A(19/6;0) si B(21/4;0).

Al treilea varf, anume M(4;5) arata ca inaltimea triunghiului este 5, iar baza triunghiului,

anume AB, are lungimea 21/4 - 19/6 = 25/12.

Rezulta imediat: aria[MAB] = 125/4.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan