Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 03 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 4

Suport teoretic:

Derivate ordin superior,continuitatea functiilor derivabile,sisteme liniare.

Enunt:

Fie functia f:(0,+oo) - > R,

f(x)=\begin{cases}\ln{x},\;{x}\in{(0;1]}\\a{x}^{2}+bx+c,\;x\in{(1;\infty)}\end{cases}.f(x)=\begin{cases}\ln{x},\;{x}\in{(0;1]}\\a{x}^{2}+bx+c,\;x\in{(1;\infty)}\end{cases}.

Sa se afle numerele reale a, b, c, astfel incat functia sa fie derivabila de doua ori in x = 1.

Raspuns:

a = -1/2, b = 2, c = -3/2.

Rezolvare:

Vom folosi continuitatea functiei f si derivabilitatea functiilor f si f' in x = 1;

va rezulta un sistem liniar de ecuatii in a, b si c, pe care il rezolvam.

1) Continuitatea: fs(1) = f(1) = fd(1) = > a + b + c = 0; (1)

2) Derivabilitatea functiei f:  

ff'(x)=\begin{cases}\frac{1}{x},\;{x}\in{(0;1)}\\2ax+b,\;x\in{(1;\infty)}\end{cases}.

Se impune  ca f's(1) = f'd(1) = > 2a + b = 1; (2)

3) Derivabilitatea functiei f':  

ff''(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x^2},\;{x}\in{(0;1)}\\2a,\;x\in{(1;\infty)}\end{cases}.

Se impune  ca f''s(1) = f''d(1) = > 2a = -1; (3)

Din rezolvarea sistemului format cu ecuatiile (1), (2) si (3) se obtine solutia.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Butterfly

V4JxziEL4, 15.08.2016 21:15

This is both street smart and inetillgent.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan