Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 26 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 3

Suport teoretic:

Functia radical,sinus,functii compuse.

Enunt:

Sa se determine cardinalul multimii Imf, unde f:D - > R,

f(x)=\sqrt{{sin}(\frac{{\pi}x}{6})},f(x)=\sqrt{{sin}(\frac{{\pi}x}{6})},

domeniul D fiind format din toate numerele naturale pentru care functia f este

bine definita.

Raspuns:

Card(Imf) = 4.

Rezolvare:

Noţiunile vehiculate în enunţ sunt:

- funcţie bine definită, 

- funcţia radical de ordin par,

- funcţia sinus,

- funcţia de gradul întâi,

- compunerea funcţiilor,

- imaginea unei funcţii,

- cardinalul unei mulţimi.

Conştientizăm semnificaţia fiecăreia, eventual revedem teoria respectivă şi, apoi,

construim un plan de rezolvare (o strategie):

Radicalul de ordin par (evident 2) impune ca expresia de sub radical să fie nenegativă

(mai mare sau egală cu zero); cum sinusul este funcţie periodică, este suficient să

analizăm câte valori nenegative şi distincte ia, pentru x natural, în condiţia că

{0}\le{\frac{{\pi}x}{6}}\le{\pi}{0}\le{\frac{{\pi}x}{6}}\le{\pi}

(sinusul ia valori nenegative in cadranele I si II).

Rezolvăm, aşa dar, dubla inegalitate în mulţimea numerelor naturale, găsim valorile

distincte ale lui x şi calculăm imaginile acestora prin funcţia f.

Numărul acestor valori (distincte) reprezintă cardinalul mulţimii Imf. Deci:

{0}\le{\frac{{\pi}x}{6}}\le{\pi}{0}\le{\frac{{\pi}x}{6}}\le{\pi} \Leftrightarrow\Leftrightarrow {0}\le{\frac{x}{6}}\le{1}{0}\le{\frac{x}{6}}\le{1} \Leftrightarrow\Leftrightarrow {0}\le{x}\le{6}{0}\le{x}\le{6} \Leftrightarrow\Leftrightarrow x\in{\{0,1,2,3,4,5,6}\}.x\in{\{0,1,2,3,4,5,6}\}.

Se găseşte cu uşurinţă că:

f(0)=f(6)=0,\;f(1)=f(5)=\frac{\sqrt{2}}{2},\;f(2)=f(4)=\frac{\sqrt[4]{12}}{2},\;f(3)=1f(0)=f(6)=0,\;f(1)=f(5)=\frac{\sqrt{2}}{2},\;f(2)=f(4)=\frac{\sqrt[4]{12}}{2},\;f(3)=1 ,

deci s-au obţinut 4 valori distincte, prin urmare Card(Imf) = 4.

Observaţie:

Valorile succesive ale argumentului funcţiei sinus formează o progresie aritmetică

având primul termen 0 şi raţia egală cu π/6; rezultă că pe cercul trigonometric ele

generează un dodecaedru, deci domeniul maxim de definiţie este de forma:

\mathcal{D}=\{n+13m|{n,m}\in{\mathbb{N}},\;{0}\le{n}\le{6}\}.\mathcal{D}=\{n+13m|{n,m}\in{\mathbb{N}},\;{0}\le{n}\le{6}\}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan