Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 15 Mai, 2014

EXERCITIUL 4

Suport teoretic:

Ecuatii diofantice,divizibilitate in Z,operatii cu multimi.

Enunt:

Sa se rezolve in multimea ZxZ ecuatia diofantica:

x² - 2x - y²x  + y³ + 1 = 0.

Raspuns:

S = {(k+1,k)|kЄZ}U{(k²+k+1,k+1)|kЄZ\{1}}.

Rezolvare:

Fie echivalenta:

x² - 2x - y²x  + y³ + 1 = 0 <=> (x - 1)² - y²(x - y) = 0.

Distingem cazurile:

1) y = 0 = > x = 1 = > S1 = {(1;0)}.

2) yЄZ*= > x - y = (x-1)²/y² < = > x - y = [(x-1)/y]² = >

= >x - 1 = ky, kЄZ < = > x = 1 + ky,  kЄZ; (1)

= > x - y = [ky/y]² < = > x - y = k² = > y = x - k²; (2).

Din (1) si (2) = > y = 1 + ky - k² < = > y(1-k) = (1-k)(1+k); (3).

Pentru k = 1 gasim x - y = 1, adica numerele x si y sunt consecutive, deci

S2 = {(k+1,k)|kЄZ}.

Pentru kЄZ\{1}, din (3) se obtine  y = k + 1 si, apoi, din (1)

rezulta

x = 1 + k(k+1) < = > x = k² + k + 1.

Prin urmare:

S3 = {(k²+k+1,k+1)|kЄZ\{1}}.

In final:

S = S1 U S2 U S3 = {(1;0)}U{(k+1,k)|kЄZ}U{(k²+k+1,k+1)|kЄZ\{1}} =>

= > S = {(k+1,k)|kЄZ}U{(k²+k+1,k+1)|kЄZ\{1}}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan