Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 03 Aprilie, 2014

EXERCITIUL 4

Suport teoretic:

Polinoame,coeficienti complecsi,impartirea cu rest,numere complexe,sisteme liniare.

Enunt:

Sa se determine restul impartirii polinomului

f=X^{2014}+X^3+X^2+X+1f=X^{2014}+X^3+X^2+X+1

la polinomul

g = X³ + X² + X + 1.

Raspuns:

r = X².

Rezolvare:

Conform identitatii impartirii cu rest, exista polinoamele unice q si r, astfel incat

f(x) = g(x)·q(x) + r(x), pentru orice x complex, unde q este catul, iar r este restul, cu

proprietatea grad(r) < grad(g) = 3.

Fie ε o radacina oarecare a polinomului g, adica g(ε) = 0; rezulta ca

f(ε) = g(ε)·q(ε) + r(ε), deci f(ε) = r(ε), unde r = aX² + bX + c, cu a,b,c complecsi.

Tinand cont de ipoteza, obtinem:

f(\epsilon)={\epsilon}^{2014}+{\epsilon}^3+{\epsilon}^2+{\epsilon}+1=a{\epsilon}^2+b{\epsilon}+c.f(\epsilon)={\epsilon}^{2014}+{\epsilon}^3+{\epsilon}^2+{\epsilon}+1=a{\epsilon}^2+b{\epsilon}+c.

Se gaseste cu usurinta ca ε = - 1, sau  ε= -i, sau ε = i, deci:

f(-1)={(-1)}^{2014}+{(-1)}^3+{(-1)}^2+{(-1)}+1=a\cdot{(-1)}^2+b\cdot{(-1)}+c,f(-1)={(-1)}^{2014}+{(-1)}^3+{(-1)}^2+{(-1)}+1=a\cdot{(-1)}^2+b\cdot{(-1)}+c,

f(-i)={(-i)}^{2014}+{(-i)}^3+{(-i)}^2+{(-i)}+1=a\cdot{(-i)}^2+b\cdot{(-i)}+c,\;sif(-i)={(-i)}^{2014}+{(-i)}^3+{(-i)}^2+{(-i)}+1=a\cdot{(-i)}^2+b\cdot{(-i)}+c,\;si

f(i)={(i)}^{2014}+{(i)}^3+{(i)}^2+{(i)}+1=a\cdot{(i)}^2+b\cdot{(i)}+c.f(i)={(i)}^{2014}+{(i)}^3+{(i)}^2+{(i)}+1=a\cdot{(i)}^2+b\cdot{(i)}+c.

Tinand cont de puterile lui i, obtinem un sistem liniar in a, b si c, a carui unica

solutie este (1;0;0), prin urmare, r = X². 


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan