Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 19 Ianuarie, 2013

EXERCITIUL 4

Suport teoretic:

Operatii matrici,grupuri,subgrupuri,grupuri ciclice,ordin grup.

Enunt:

Fie matricea 

A\in{M_2(C)},\;A=\begin{pmatrix}1&0\\2&i\end{pmatrix}.A\in{M_2(C)},\;A=\begin{pmatrix}1&0\\2&i\end{pmatrix}.

Sa se demonstreze ca multimea

M=\{A^n|n\in{\mathbb{N^*}}\}M=\{A^n|n\in{\mathbb{N^*}}\}

este finita si ca perechea (M,·), unde legea "·" reprezinta operatia de inmultire a

matricelor, formeaza un grup ciclic de ordinul 4.

Demonstratie:

Se calculeaza cateva puteri ale matricei A si se stabileste usor ca

A^n=\begin{pmatrix}1&0\\2i^0+2i^1+2i^2+\cdots+2i^{n-1}&i^n\end{pmatrix},\;\forall{n\in{\mathbb{N^*}}}.A^n=\begin{pmatrix}1&0\\2i^0+2i^1+2i^2+\cdots+2i^{n-1}&i^n\end{pmatrix},\;\forall{n\in{\mathbb{N^*}}}.  

Pentru n = 4 se gaseste

A^4=I_2,A^4=I_2,

deci sirul

A,\;A^2,\;A^3,\;A^4,\;\cdotsA,\;A^2,\;A^3,\;A^4,\;\cdots

este periodic, prin urmare multimea M contine exact 4 elemente, anume

A,\;A^2,\;A^3,\;I_2,A,\;A^2,\;A^3,\;I_2,

deci este finita.

Rezulta, totodata, ca aceasta multime formeaza grup ciclic de ordinul 4, fata de

inmultirea matricelor.

Observatie:

Acest grup ciclic (pentru care matricea A are rol de generatoreste, evident, subgrup

al grupului multiplicativ al matricelor patratice de ordinul al doilea, nesingulare,

cu elemente in multimea numerelor complexe.

Postat în: GRUPURI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan