Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 17 Iulie, 2012

EXERCITIUL 4

Suport teoretic:

Calculul unui determinant,proprietati ale determinantilor,proprietati ale logaritmilor.

Enunt:

Fie determinantul:

\Delta=\begin{vmatrix}lnx&lnx^2&lnx^3\\lnx^2&lnx^3&lnx\\lnx^3&lnx&lnx^2\end{vmatrix}\Delta=\begin{vmatrix}lnx&lnx^2&lnx^3\\lnx^2&lnx^3&lnx\\lnx^3&lnx&lnx^2\end{vmatrix}

Sa se afle x > 0, astfel incat Δ = 18.

Raspuns:

x = 1/e.

Rezolvare:

Mai intai sa calculam valoarea determinantului, folosind proprietati adecvate.

Se aduna liniile 2 si 3 la prima, se obtine pe prima linie factor comun 6·lnx

si deci:

\Delta=(6lnx)\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\lnx^2&lnx^3&lnx\\lnx^3&lnx&lnx^2\end{vmatrix}.\Delta=(6lnx)\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\lnx^2&lnx^3&lnx\\lnx^3&lnx&lnx^2\end{vmatrix}.

Se scade prima coloana din celelalte doua si se obtine:

\Delta=(6lnx)\cdot\begin{vmatrix}1&0&0\\lnx^2&lnx&-lnx\\lnx^3&-lnx^2&-lnx\end{vmatrix}.\Delta=(6lnx)\cdot\begin{vmatrix}1&0&0\\lnx^2&lnx&-lnx\\lnx^3&-lnx^2&-lnx\end{vmatrix}.

Se dezvolta determinantul dupa elementele liniei intai si se obtine:

\Delta=(6lnx)\cdot\begin{vmatrix}lnx&-lnx\\-lnx^2&-lnx\end{vmatrix}=\cdots=-18\cdot{ln}^3x.\Delta=(6lnx)\cdot\begin{vmatrix}lnx&-lnx\\-lnx^2&-lnx\end{vmatrix}=\cdots=-18\cdot{ln}^3x.

In final, ecuatia Δ = 18 devine succesiv:

{-18\cdot{ln}^3x=18}\Leftrightarrow{ln^3x=-1}\Leftrightarrow{lnx=-1}\Leftrightarrow{x=\frac{1}{e}}.{-18\cdot{ln}^3x=18}\Leftrightarrow{ln^3x=-1}\Leftrightarrow{lnx=-1}\Leftrightarrow{x=\frac{1}{e}}.

Varianta:

\Delta=\begin{vmatrix}lnx&lnx^2&lnx^3\\lnx^2&lnx^3&lnx\\lnx^3&lnx&lnx^2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}lnx&2lnx&3lnx\\2lnx&3lnx&lnx\\3lnx&lnx&2lnx\end{vmatrix}=(ln^3x)\cdot\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{vmatrix}=\cdots=\Delta=\begin{vmatrix}lnx&lnx^2&lnx^3\\lnx^2&lnx^3&lnx\\lnx^3&lnx&lnx^2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}lnx&2lnx&3lnx\\2lnx&3lnx&lnx\\3lnx&lnx&2lnx\end{vmatrix}=(ln^3x)\cdot\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{vmatrix}=\cdots=

=-18ln^3x,\;etc.=-18ln^3x,\;etc.

Postat în: DETERMINANTI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan