Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 02 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 4

Suport teoretic:

Limite de siruri,aplicatii integrala definita,sume Riemman,descompunere fractii simple.

Enunt:

Sa se calculeze limita L a sirului (an), nЄN*, avand termenul general:

a_n=\sum_{k=0}^{k=n-1}{\frac{n}{(3n+3k+1)(6n+3k+1)}}.a_n=\sum_{k=0}^{k=n-1}{\frac{n}{(3n+3k+1)(6n+3k+1)}}.

Raspuns:

L=ln{\sqrt[9]{\frac{4}{3}}}.L=ln{\sqrt[9]{\frac{4}{3}}}.

Rezolvare:

a_n=\sum_{k=0}^{k=n-1}{\frac{n}{9n^2(1+\frac{k}{n}+\frac{1}{3n})(2+\frac{k}{n}+\frac{1}{3n})}}=a_n=\sum_{k=0}^{k=n-1}{\frac{n}{9n^2(1+\frac{k}{n}+\frac{1}{3n})(2+\frac{k}{n}+\frac{1}{3n})}}= {\frac{1}{9}}\cdot{\sum_{k=0}^{k=n-1}{\frac{1}{(1+\frac{3k+1}{3n})(2+\frac{3k+1}{3n})}}}\cdot{\frac{1}{n}}.{\frac{1}{9}}\cdot{\sum_{k=0}^{k=n-1}{\frac{1}{(1+\frac{3k+1}{3n})(2+\frac{3k+1}{3n})}}}\cdot{\frac{1}{n}}.

Se observa obtinerea unei sume riemmaniene, asociata functiei

f:[0,1] -  > (0,+oo), f(x) = 1/(1+x)(2+x),

diviziunii echidistante

Δ = (0,1/n,2/n,3/n,...,(n-1)/n,1)

si sistemului de puncte intermediare

ξk = ((3k+1)/3n)Є(k/n,(k+1)/n).

Deci:

lim(a_n)={\frac{1}{9}}\cdot{lim{[\sum_{k=0}^{k=n-1}{f({\xi}_k)}\cdot{(x_{k+1}-x_k)}}]}=lim(a_n)={\frac{1}{9}}\cdot{lim{[\sum_{k=0}^{k=n-1}{f({\xi}_k)}\cdot{(x_{k+1}-x_k)}}]}= {\frac{1}{9}}\cdot{\int_0^1{{\frac{1}{(1+x)(2+x)}}\cdot{dx}}}={\frac{1}{9}}\cdot{\int_0^1{{\frac{1}{(1+x)(2+x)}}\cdot{dx}}}=

=\cdots={\frac{1}{9}}\cdot{(\int_0^1{{\frac{1}{x+1}}{dx}}-\int_0^1{{\frac{1}{x+2}}{dx})}}=\cdots=ln{\sqrt[9]{\frac{4}{3}}}.=\cdots={\frac{1}{9}}\cdot{(\int_0^1{{\frac{1}{x+1}}{dx}}-\int_0^1{{\frac{1}{x+2}}{dx})}}=\cdots=ln{\sqrt[9]{\frac{4}{3}}}.

Nota:

Detalii in legatura cu descompunerea in fractii simple aici:


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan