Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 23 Septembrie, 2013

EXERCITIUL 3

Suport teoretic:

Functia arcsinus,functia radical,inecuatii grad 2,puncte unghiulare,derivate laterale,

panta unei drepte,ecuatia unei drepte,arii. 

Enunt: 

Se defineste functia f:D - > R (D fiind domeniul sau maxim de definitie), prin legea:

f(x)=arcsin{\sqrt{1-x^2}}.f(x)=arcsin{\sqrt{1-x^2}}.

1) Sa se afle multimea D.

2) Sa se arate ca reprezentarea geometrica a functiei f admite un punct unghiular U.

3) Sa se calculeze aria suprafetei triunghiulare, delimitata de semitangentele (cu

originea in V) la graficul functiei f si axa absciselor. 

Raspuns:

1) D = [-1;+1]; 2)U(0;π/2); 3) Aria =  π²/4. 

Rezolvare:

1) Expresia 1-x² trebuie sa fie nenegativa (datorita radicalului de ordin par), deci

xЄ[-1;+1]; pentru aceste valori, radicalul apartine intervalului [0;+1], ceea ce

"convine" functiei arcsinus, care ia astfel toate valorile din intervalul [0;π/2].

Rezulta imediat D = [-1;+1] si f(D) = [0;π/2].

2) Trebuie sa existe xoЄ[-1;+1], astfel incat f sa fie continua in acest punct, ceea ce

este adevarat, iar derivatele laterale f's(xo) si f'd(xo) sa fie diferite, cel putin una finita

(vezi puncte unghiulare). Fie:

f^{f^{'}(x)={\frac{(1-x^2)^{'}}{2\sqrt{1-x^2}}}\cdot{\frac{1}{\sqrt{1-1+x^2}}}=\cdots= {\frac{-x}{{|x|}\cdot{\sqrt{1-x^2}}}}{\frac{-x}{{|x|}\cdot{\sqrt{1-x^2}}}} =\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\;x\in{(-1;0)}\\-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\;x\in{(0;+1)}\end{cases}.=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\;x\in{(-1;0)}\\-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\;x\in{(0;+1)}\end{cases}.

Se observa cu usurinta ca domeniul de derivabilitate al functiei f este (-1;0)U(0;1) si

ca  f'd(-1) = +oo, f's(0) = +1, f'd(0) = -1 si f's(+1) = -oo,

deci punctul unghiular al graficului este U(0;π/2).

3) Dreptele suport ale celor 2 semitangente au pantele +1 si -1 (derivatele laterale la

stanga si la dreapta in x = 0) si trec prin punctul U(0;π/2), deci au ecuatiile:

y -  π/2 = +1(x - 0) < = > x - y + π/2 = 0, respectiv

y -  π/2 = - 1(x - 0) < = > x + y - π/2 = 0.

Rezulta imediat ca suprafata triunghiulara este definita de triunghiul UAB, unde

U(0;π/2), A(-π/2;0), C(+π/2;0) (triunghi isoscel, cu baza AB = π si inaltimea OU = π/2).

Prin urmare, aria[UAB] = [π·(π/2)]/2 = π²/4.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan