Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 29 Octombrie, 2011

EXERCITIUL 3

Suport teoretic:

Polinoame,numere complexe,forma trigonometrica,radacini ordin n.

Enunt: 

Fie polinomul cu coeficienti complecsi

f=(1+i)X^{64}+(1-i)X^{32}-X^{16}-1f=(1+i)X^{64}+(1-i)X^{32}-X^{16}-1

si numarul complex

z={\frac{1}{2}}\cdot{(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}})}.z={\frac{1}{2}}\cdot{(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}})}.

Sa se calculeze f(z).

Raspuns:

f(z) = 0.

Rezolvare:

Scriem succesiv:

z=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}+i\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\cdots=cos{\frac{\pi}{8}}+isin{\frac{\pi}{8}}=cos{\frac{2\pi}{16}}+isin{\frac{2\pi}{16}}.z=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}+i\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\cdots=cos{\frac{\pi}{8}}+isin{\frac{\pi}{8}}=cos{\frac{2\pi}{16}}+isin{\frac{2\pi}{16}}.

Se constata ca z reprezinta o radacina de ordinul 16 a unitatii si rezulta imediat,

folosind formula lui Moivre, ca:

z^{64}=z^{32}=z^{16}=1,z^{64}=z^{32}=z^{16}=1,

deci f(z) = (1 + i)·1 +(1 - i)·1 - 1 - 1 = ... = 0.  


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan