Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 16 Decembrie, 2010

EXERCITIUL 3

Suport teoretic:

Divizibilitatea in Z,clase de resturi,modulo 3.

Enunt: 

Sa se demonstreze ca numarul N=n(n²+2), unde n este numar natural,

este divizibil cu 3.

Demonstratie:

Fie multimea claselor de resturi modulo 3, anume Z3. 

Numarul natural n poate fi numai in una din urmatoarele situatii:

1) n = 3k, unde k este natural (n este in clasa lui 0): avem

N = 3k(9k²+2) = M3;

2) n = 3k+1, unde k este natural (n este in clasa lui 1): avem

N = (3k+1)[(3k+1)²+2] = ... = (3k+1)[(M3+1)+2] = M3

(dezvoltarea binomului la puterea a 2-a are toti termenii, cu exceptia ultimului,

anume 1, divizibili cu 3);

3) n = 3k+2, unde k este natural (n este in clasa lui 2)avem

N = (3k+2)[(3k+2)²+2] = ... = (3k+2)[(M3+4)+2] = M3.

Deci, oricare ar fi n natural, numarul N este divizibil cu 3.

Observatie:

Demonstratia se mai poate face, evident, prin inductie matematica.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan