Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 26 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 3

Suport teoretic:

Binom Newton,termen general.

Enunt:

Sa se determine coeficientul lui x^{15}x^{15} din dezvoltarea:

(1+x-x^2)^{10}.(1+x-x^2)^{10}.

Raspuns: 

10{C}_{9}^{3}-{C}_{10}^{5}-8{C}_{10}^{2}.10{C}_{9}^{3}-{C}_{10}^{5}-8{C}_{10}^{2}.

Rezolvare:

Scriem

(1+x-x^2)^{10}=[1+(x-x^2)]^{10},(1+x-x^2)^{10}=[1+(x-x^2)]^{10},

apoi folosim expresia termenului general al binomului Newton:

T_{k+1}={C}_{n}^{k}{a}^{n-k}{b}^{k},T_{k+1}={C}_{n}^{k}{a}^{n-k}{b}^{k},

unde

a = 1 ,b = x - x² si n = 10. 

Obtinem

T_{k+1}={C}_{n}^{k}(x-x^2)^{k}T_{k+1}={C}_{n}^{k}(x-x^2)^{k}

si, pentru noul binom

(x-x^2)^{k},(x-x^2)^{k},

calculam

T_{p+1}=\cdots={C}_{k}^{p}{x}^{k-p}{(-1)}^{p}{x}^{2p}={C}_{k}^{p}{(-1)}^{p}{x}^{k+p}.T_{p+1}=\cdots={C}_{k}^{p}{x}^{k-p}{(-1)}^{p}{x}^{2p}={C}_{k}^{p}{(-1)}^{p}{x}^{k+p}.

Se tine cont de conditiile

{k+p=15},{0}\leq{k}\leq{10},\;unde\; {0}\leq{p}\leq{k},{k+p=15},{0}\leq{k}\leq{10},\;unde\; {0}\leq{p}\leq{k}, {k,p}\in{\mathbb{N}}{k,p}\in{\mathbb{N}}

si gasim:

(k,p)Є{(8,7),(9,6),(10,5)} =  > coeficientul lui

{x^{15}}{x^{15}} se obtine ca suma de trei termeni si anume:

{C}_{10}^{8}\cdot{C}_{8}^{7}\cdot{(-1)}^{7}+{C}_{10}^{9}\cdot{C}_{9}^{6}\cdot{(-1)}^{6}+{C}_{10}^{10}\cdot{C}_{10}^{5}\cdot{(-1)}^{5}=\cdots=10{C}_{9}^{3}-{C}_{10}^{5}-8{C}_{10}^{2}.{C}_{10}^{8}\cdot{C}_{8}^{7}\cdot{(-1)}^{7}+{C}_{10}^{9}\cdot{C}_{9}^{6}\cdot{(-1)}^{6}+{C}_{10}^{10}\cdot{C}_{10}^{5}\cdot{(-1)}^{5}=\cdots=10{C}_{9}^{3}-{C}_{10}^{5}-8{C}_{10}^{2}.  


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan