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Data publicarii: 04 Iunie, 2014

EXERCITIUL 2

Suport teoretic:

Functii gradul 2,functii bijective,inversa unei functii,compunerea functiilor.

Enunt:

Fie functia f:R - > R, f(x) = x² - 6x + 8. Se cere:

1) Sa se afle restrictia bijectiva g:D - > R, avand domeniul maxim de definitie D,

format din numere pozitive.

2) Sa se afle inversa functiei g, notata cu g^{-1}.g^{-1}.

3) Sa se calculeze g\circ{g^{-1}}\;si\;{g^{-1}}\circ{g}.g\circ{g^{-1}}\;si\;{g^{-1}}\circ{g}.

Raspuns:

1)\;g:[3;+\infty)\rightarrow{[-1;+\infty)},\;g(x)=f(x).1)\;g:[3;+\infty)\rightarrow{[-1;+\infty)},\;g(x)=f(x).

2)\;g^{-1}:[-1;+\infty)\rightarrow{[3;+\infty)},\;x=g^{-1}(y)=3+\sqrt{1+y}.2)\;g^{-1}:[-1;+\infty)\rightarrow{[3;+\infty)},\;x=g^{-1}(y)=3+\sqrt{1+y}.   

3)\;g\circ{g^{-1}}=1_{[-1,+\infty)};\;{g^{-1}}\circ{g}=1_{[3,+\infty)}.3)\;g\circ{g^{-1}}=1_{[-1,+\infty)};\;{g^{-1}}\circ{g}=1_{[3,+\infty)}.

Rezolvare:

1) Tinand cont de monotonia functiei de gradul al doilea cu a=1 > 0, rezulta ca

pe intervalul [-b/(2a);+oo) = [3;+oo), de lungime maxima, format din numere

pozitive, functia f este strict crescatoare, luand valori ce acopera intervalul

[-Δ/(4a);+oo) = [-1,+oo).

Prin urmare, restrictia functiei f la intervalul [3;+oo) este bijectiva

(injectiva si surjectiva) raspunsul fiind evident:

1)\;g:[3;+\infty)\rightarrow{[-1;+\infty)},\;g(x)=f(x).1)\;g:[3;+\infty)\rightarrow{[-1;+\infty)},\;g(x)=f(x).

2) Identificarea inversei functiei g consta in a rezolva ecuatia g(x) = y, in care

necunosuta este x, adica

x² - 6x + 8 = y < = > x² - 6x + (8-y) = 0.

Se afla solutia x (in functie de y), care corespunde cerintei xЄ[3;oo). Rezulta

g^{-1}:[-1;+\infty)\rightarrow{[3;+\infty)},\;x=g^{-1}(y)=3+\sqrt{1+y}.g^{-1}:[-1;+\infty)\rightarrow{[3;+\infty)},\;x=g^{-1}(y)=3+\sqrt{1+y}.   

3)\;(g\circ{g^{-1}})(y)=g(g^{-1}(y))=g(3+\sqrt{1+y})=\cdots=y,\;deci3)\;(g\circ{g^{-1}})(y)=g(g^{-1}(y))=g(3+\sqrt{1+y})=\cdots=y,\;deci

g\circ{g^{-1}}=1_{[-1,+\infty)},\;unde\;1_{[-1,+\infty)}g\circ{g^{-1}}=1_{[-1,+\infty)},\;unde\;1_{[-1,+\infty)}

reprezinta aplicatia identica a multimii [-1;+oo). 

Analog se obtine,  cu usurinta,

{g^{-1}}\circ{g}=1_{[3,+\infty)},\;unde\;1_{[3,+\infty)}{g^{-1}}\circ{g}=1_{[3,+\infty)},\;unde\;1_{[3,+\infty)}

reprezinta aplicatia identica a multimii [3;+oo). 

Observatie:  

Functia 1M:M  -> M, 1M(x) = x

se numeste aplicatia identica a multimii M.


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