Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 23 Mai, 2011

EXERCITIUL 3

Suport teoretic:

Integrare functii rationale,descompunere fractii simple,polinoame coeficienti intregi,schema lui Horner,metoda coeficientilor nedeterminati,sisteme liniare,proprietati logaritmi,primitive.

Enunt: 

Sa se calculeze urmatoarea integrala definita:

I=\int_1^2{\frac{1}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}}{dx}.I=\int_1^2{\frac{1}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}}{dx}.

Raspuns:

I=ln{\sqrt[4]{0,9}}+\frac{1}{12}.I=ln{\sqrt[4]{0,9}}+\frac{1}{12}.

Rezolvare:

Folosind teoremele referitoare la radacinile rationale ale unui polinom cu coeficienti

intregi si schema lui Horner, se obtine:

\frac{1}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}=\frac{1}{(x+1)^2(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}=\cdots=\frac{1}{x^4+2x^3+2x^2+2x+1}=\frac{1}{(x+1)^2(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}=\cdots=

=\frac{(A+C)x^3+(A+B+2C+D)x^2+(A+C+2D)x+(A+B+D)}{(x+1)^2(x^2+1)},\;\forall{x}\in{[1;2]}.=\frac{(A+C)x^3+(A+B+2C+D)x^2+(A+C+2D)x+(A+B+D)}{(x+1)^2(x^2+1)},\;\forall{x}\in{[1;2]}.

In baza metodei coeficientilor nedeterminati, se obtine sistemul liniar

\begin{cases}A+C=0\\A+B+2C+D=0\\A+C+2D=0\\A+B+D=1\end{cases},\begin{cases}A+C=0\\A+B+2C+D=0\\A+C+2D=0\\A+B+D=1\end{cases},

care, rezolvat, conduce la solutia unica: A = B = 1/2, C = -1/2, D = 0. Deci:

I={\frac{1}{2}}\cdot{\int_1^2{\frac{1}{x+1}}{dx}}+{\frac{1}{2}}\cdot{\int_1^2{\frac{1}{(x+1)^2}}{dx}}-{\frac{1}{2}}\cdot{\int_1^2{\frac{x}{x^2+1}}{dx}}\;etc.I={\frac{1}{2}}\cdot{\int_1^2{\frac{1}{x+1}}{dx}}+{\frac{1}{2}}\cdot{\int_1^2{\frac{1}{(x+1)^2}}{dx}}-{\frac{1}{2}}\cdot{\int_1^2{\frac{x}{x^2+1}}{dx}}\;etc.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan