Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 22 Decembrie, 2015

EXERCITIUL 26

Suport teoretic:

Limite de siruri,sume Riemann,integrale definite.

Enunt:

Sa se calculeze

L=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{\frac{1}{n}}\cdot{\big(\frac{1}{2n+1}+\frac{3}{2n+3}+\cdots+\frac{2n-1}{4n-1}\big)}\cdotL=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{\frac{1}{n}}\cdot{\big(\frac{1}{2n+1}+\frac{3}{2n+3}+\cdots+\frac{2n-1}{4n-1}\big)}\cdot

Raspuns

L = 1- ln2. 

Rezolvare:

L=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{\frac{1}{n}}\cdot{\sum_{k=1}^{k=n}{\frac{2k-1}{2n+2k-1}}}=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}\sum_{k=1}^{k=n}{\big(\frac{k}{n}-\frac{k-1}{n}\big)}\cdot{\frac{\frac{2k-1}{2n}}{\frac{2k-1}{2n}+1}}=L=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{\frac{1}{n}}\cdot{\sum_{k=1}^{k=n}{\frac{2k-1}{2n+2k-1}}}=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}\sum_{k=1}^{k=n}{\big(\frac{k}{n}-\frac{k-1}{n}\big)}\cdot{\frac{\frac{2k-1}{2n}}{\frac{2k-1}{2n}+1}}=

=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}\sum_{k=1}^{k=n}{f(\xi_k)(x_{k}-x_{k-1})},=lim_{{n}\rightarrow{\infty}}\sum_{k=1}^{k=n}{f(\xi_k)(x_{k}-x_{k-1})},

unde f este functia

f:(0,1) -> R, f(x) = x/(x+1), 

careia i s-a asociat diviziunea echidistanta a intervalului [0;1], anume

Δn = (0=0/n, 1/n, 2/n, ... , (k-1)/n, k/n, ..., (n-1)/n,n/n=1)

si sistemul de puncte intermediare  ξk = (2k-1)/2n

(se verifica usor apartenenta ξkЄ[(k-1)/n, k/n], ξk fiind abscisa mijlocului intervalului).

Se recunoaste, deci, ca L este limita a unei sume Riemann, prin urmare:

L=\int_0^1{f(x)dx}=\int_0^1{\frac{x}{x+1}}dx=\int_0^1\frac{x+1-1}{x+1}dx=\cdots=1-ln2\cdotL=\int_0^1{f(x)dx}=\int_0^1{\frac{x}{x+1}}dx=\int_0^1\frac{x+1-1}{x+1}dx=\cdots=1-ln2\cdot


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan