Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 24

Suport teoretic:

Siruri recurente,limites de siruri,siruri remarcabile.

Enunt:

Fie sirurile (an) si (bn), cu n€N*, astfel incat:

a1 = 2, n²·an+1 = 2an·(n+1)², b1 = e, n·bn+1 = e·(n+1)·bn,

oricare ar fi n€N*.

Sa se calculeze L=lim(an /bn).

Raspuns:

L = 0.

Rezolvare:

Inlocuim, in cele doua recurente, pe n cu 1, 2, 3, ... , (n-1),

apoi inmultim, membru cu membru, egalitatile obtinute

(separat pentru fiecare recurenta), efectuam toate

simplificarile posibile si obtinem, cu usurinta:  

a_n={n^2}\cdot{2^n}\;si\;b_n={n}\cdot{e^n},\;n\in{\mathbb{N^{*}}}.a_n={n^2}\cdot{2^n}\;si\;b_n={n}\cdot{e^n},\;n\in{\mathbb{N^{*}}}.

Efectuand raportul an /bn , obtinem imediat

lim{\big(\frac{a_n}{b_n}\big)}=lim\big[{n}\cdot{(\frac{2}{e})^n}\big]=0,lim{\big(\frac{a_n}{b_n}\big)}=lim\big[{n}\cdot{(\frac{2}{e})^n}\big]=0,

in baza unui rezultat cunoscut privind un sir remarcabil:  

\lim{(n^k}{a^n)}=0,\;unde\;k\in{\mathbb{N}},\;constant\;si\;|a|<1.\lim{(n^k}{a^n)}=0,\;unde\;k\in{\mathbb{N}},\;constant\;si\;|a|<1.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan