Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 14 Iulie, 2011

EXERCITIUL 2

Suport teoretic:

Primitive,functii rationale,schimbari de variabila.

Enunt:

Sa se calculeze, pe intervalul (1,+oo), primitivele functiei rationale:

f(x)=\frac{x^2-1}{x^4+x^3+x^2+x+1}.f(x)=\frac{x^2-1}{x^4+x^3+x^2+x+1}.

Raspuns:

I={\frac{\sqrt{5}}{5}}\cdot{{ln}{\Big(\frac{2x^2+(1-\sqrt{5})x+2}{2x^2+(1+\sqrt{5}x+2)}\Big)}}+\mathcal{C}.I={\frac{\sqrt{5}}{5}}\cdot{{ln}{\Big(\frac{2x^2+(1-\sqrt{5})x+2}{2x^2+(1+\sqrt{5}x+2)}\Big)}}+\mathcal{C}.

Rezolvare:

Simplificam fortat prin x², regrupam convenabil termenii numitorului si obtinem:

I=\int{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{(x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-1}}dx.I=\int{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{(x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-1}}dx.

Cu schimbarea de variabila

x+\frac{1}{x}=t,x+\frac{1}{x}=t,

unde t > 2, intrucat x > 1, obtinem succesiv:

I_1=\int{\frac{1}{t^2+t-1}}dt=\cdots=\int{\frac{(t+\frac{1}{2})I_1=\int{\frac{1}{t^2+t-1}}dt=\cdots=\int{\frac{(t+\frac{1}{2})'}{(t+\frac{1}{2})^2-(\frac{\sqrt{5}}{2})^2}}dt=\cdots={\frac{\sqrt{5}}{5}}\cdot{{ln}{\Big(\frac{2t+1-\sqrt{5}}{2t+1+\sqrt{5}}\Big)}}+\mathcal{C}.

Se tine cont apoi de substitutia folosita si se afla I.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

..

ANA, 17.05.2012 13:59

De ce dupa schimbarea de var ramane 1 la numarator?

Răspuns: In baza formulei df(x)=f'(x)dx se obtine d(x+1/x)=(1-1/x^2)dx, deci (1-1/x^2)dx devine dt si, de aici, gasesti raspunsul cerut.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan