Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 09 Noiembrie, 2010

EXERCITIUL 2

Suport teoretic:

Limite siruri,integrale definite,sume Riemann,integrarea prin parti.

Enunt:

Sa se calculeze limita L a sirului avand termenul general:

a_n=\frac{1}{n^2}{arctg}(\frac{1}{n})+\frac{2}{n^2}{arctg}(\frac{2}{n})+\cdots+\frac{n}{n^2}{arctg}(\frac{n}{n}),\;{n}\ge{1}.a_n=\frac{1}{n^2}{arctg}(\frac{1}{n})+\frac{2}{n^2}{arctg}(\frac{2}{n})+\cdots+\frac{n}{n^2}{arctg}(\frac{n}{n}),\;{n}\ge{1}.

Raspuns:

L=\frac{\pi-2}{4}.L=\frac{\pi-2}{4}.

Rezolvare:

Se scrie termenul general al sirului sub forma:

a_n=\sum_{k=1}^{k=n}{\frac{k}{n}}\cdot{(arctg\frac{k}{n})}\cdot{(\frac{k}{n}-\frac{k-1}{n})}.a_n=\sum_{k=1}^{k=n}{\frac{k}{n}}\cdot{(arctg\frac{k}{n})}\cdot{(\frac{k}{n}-\frac{k-1}{n})}.

Fie functia f:[0;1] - > R, f(x) = xarctgx, diviziunea

\Delta_n=(0=\frac{0}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots,\frac{k-1}{n},\frac{k}{n},\cdots,\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}=1)\Delta_n=(0=\frac{0}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots,\frac{k-1}{n},\frac{k}{n},\cdots,\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}=1)

si sistemul de puncte intermediare

\xi_k=\frac{k}{n},\;\forall{k}=\overline{1,n}.\xi_k=\frac{k}{n},\;\forall{k}=\overline{1,n}.

Deducem de aici ca:

a_n=\sum_{k=1}^{k=n}{f(\xi_k)}\cdot{(x_k-x_{k-1})}a_n=\sum_{k=1}^{k=n}{f(\xi_k)}\cdot{(x_k-x_{k-1})}

si, deci, conform sumei Riemann asociata functiei f, diviziunii  Δn  si sistemului de

puncte intermediare  \xi_k,\;k=\overline{1,n},\xi_k,\;k=\overline{1,n},

avem:

{lim}a_n=\int_0^1{xarctgx}{dx}=\int_0^1(\frac{x^2}{2}){lim}a_n=\int_0^1{xarctgx}{dx}=\int_0^1(\frac{x^2}{2})'{arctgx}{dx}={\frac{x^2}{2}}\cdot{arctgx}|_0^1-{\frac{1}{2}}\cdot{\int_0^1{\frac{x^2+1-1}{x^2+1}}{dx}}= \cdots=\frac{\pi-2}{4}.\cdots=\frac{\pi-2}{4}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan