Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

»REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE (Gauss)-liceu

Data publicarii: 22 Iunie, 2010

EXERCITIUL 2

Suport teoretic:

Sisteme liniare,metoda Gauss,sisteme echivalente,sisteme incompatibile.

Enunt:

Folosind metoda lui Gauss, sa se arate ca sistemul urmator este incompatibil:

$\begin{cases}3x-y+z+2t=1\\x+2y-z+t=-2\\2x+y+z+t=1\\-3x-3y+2z-t=6\\4x-2y-z+3t=3\end{cases}.$ \begin{cases}3x-y+z+2t=1\\x+2y-z+t=-2\\2x+y+z+t=1\\-3x-3y+2z-t=6\\4x-2y-z+3t=3\end{cases}.

Demonstratie:

Scriem matricea extinsa a sistemului, dupa ce schimbam intre ele locurile primelor

2 ecuatii (pentru a facilita eliminarea necunoscutei x din ecuatiile 2, 3, 4 si 5):

$\begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\3&-1&1&2&\vdots&1\\4&-2&-1&3&\vdots&3\\2&1&1&1&\vdots&1\\-3&-3&2&-1&\vdots&6\end{pmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}-3L_1+L_2\\-4L_1+L_3\\-2L_!+L_4\\3L_1+L_5\end{bmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&-7&4&-1&\vdots&7\\0&-10&3&-1&\vdots&11\\0&-3&3&-1&\vdots&5\\0&3&-1&2&\vdots&0\end{pmatrix}$ \begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\3&-1&1&2&\vdots&1\\4&-2&-1&3&\vdots&3\\2&1&1&1&\vdots&1\\-3&-3&2&-1&\vdots&6\end{pmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}-3L_1+L_2\\-4L_1+L_3\\-2L_!+L_4\\3L_1+L_5\end{bmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&-7&4&-1&\vdots&7\\0&-10&3&-1&\vdots&11\\0&-3&3&-1&\vdots&5\\0&3&-1&2&\vdots&0\end{pmatrix} $\rightarrow$ \rightarrow $[{L_2}\leftrightarrow{L_5}]$ [{L_2}\leftrightarrow{L_5}] $\rightarrow$ \rightarrow $\begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&3&-1&2&\vdots&0\\0&-10&3&-1&\vdots&11\\0&-3&3&-1&\vdots&5\\0&-7&4&-1&\vdots&7\end{pmatrix}\rightarrow[{L_2}\leftrightarrow{{L_3}:3}]\rightarrow$ \begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&3&-1&2&\vdots&0\\0&-10&3&-1&\vdots&11\\0&-3&3&-1&\vdots&5\\0&-7&4&-1&\vdots&7\end{pmatrix}\rightarrow[{L_2}\leftrightarrow{{L_3}:3}]\rightarrow $\begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&1&-1/3&2/3&\vdots&0\\0&-10&3&-1&\vdots&11\\0&-3&3&-1&\vdots&5\\0&-7&4&-1&\vdots&7\end{pmatrix}\rightarrow$ \begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&1&-1/3&2/3&\vdots&0\\0&-10&3&-1&\vdots&11\\0&-3&3&-1&\vdots&5\\0&-7&4&-1&\vdots&7\end{pmatrix}\rightarrow $\begin{bmatrix}10L_2+L_3\\3L_2+L_4\\7L_2+L_5\end{bmatrix}\rightarrow$ \begin{bmatrix}10L_2+L_3\\3L_2+L_4\\7L_2+L_5\end{bmatrix}\rightarrow $\begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&1&-1/3&2/3&\vdots&0\\0&0&-1/3&17/3&\vdots&11\\0&0&2&1&\vdots&5\\0&0&5/3&11/3&\vdots&7\end{pmatrix}\rightarrow$ \begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&1&-1/3&2/3&\vdots&0\\0&0&-1/3&17/3&\vdots&11\\0&0&2&1&\vdots&5\\0&0&5/3&11/3&\vdots&7\end{pmatrix}\rightarrow $\begin{bmatrix}{L_3}\cdot{(-3)}\\{L_5}\cdot{3}\end{bmatrix}$ \begin{bmatrix}{L_3}\cdot{(-3)}\\{L_5}\cdot{3}\end{bmatrix} $\rightarrow$ \rightarrow $\begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&1&-1/3&2/3&\vdots&0\\0&0&1&-17&\vdots&-33\\0&0&2&1&\vdots&5\\0&0&5&11&\vdots&21\end{pmatrix}\rightarrow$ \begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&1&-1/3&2/3&\vdots&0\\0&0&1&-17&\vdots&-33\\0&0&2&1&\vdots&5\\0&0&5&11&\vdots&21\end{pmatrix}\rightarrow $\begin{bmatrix}-2L_3+L_4\\-5L_3+L_5\end{bmatrix}$ \begin{bmatrix}-2L_3+L_4\\-5L_3+L_5\end{bmatrix} $\rightarrow$ \rightarrow $\begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&1&-1/3&2/3&\vdots&0\\0&0&1&-17&\vdots&-33\\0&0&0&35&\vdots&71\\0&0&0&96&\vdots&186\end{pmatrix}.$ \begin{pmatrix}1&2&-1&1&\vdots&-2\\0&1&-1/3&2/3&\vdots&0\\0&0&1&-17&\vdots&-33\\0&0&0&35&\vdots&71\\0&0&0&96&\vdots&186\end{pmatrix}.