Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 10 Septembrie, 2013

EXERCITIUL 2

Suport teoretic:

Functii continue,corolar Lagrange,derivate laterale,puncte de intoarcere.

Enunt:

Se da functia f:[-1;9] - > R, definita prin legea

f(x)=\begin{cases}\sqrt{15-2x-x^2},\;x\le{3}\\\sqrt{-45+18x-x^2},x>{3}\end{cases}.f(x)=\begin{cases}\sqrt{15-2x-x^2},\;x\le{3}\\\sqrt{-45+18x-x^2},x>{3}\end{cases}.

a) Sa se arate ca functia f este continua.

b) Sa se afle Imf.

c) Sa se arate ca numarul x = 3 este punct de intoarcere al functiei f.

Raspuns:

b) Imf = [0;6].

Rezolvare:

a) Este suficient sa aratam ca f este continua in x = 3, caci in rest functia este definita

prin 2 restrictii de functii elementare.

Deci: fs(3) = fd(3) = f(3) < = > ... < = > 0 = 0 = 0, adevarat.

b) Tinand cont de proprietatile functiei de gradul al doilea, sa observam ca functia

g:[-1;3] - > R, g(x) = 15 - 2x - x² = - x² - 2x + 15

este strict descrescatoare si

Img = [0;16], deci f([-1;3]) = [0;4]. (1)

Analog, functia h:(3;9] - > R,

h(x) = - 45 + 18x - x² = - x² + 18x - 45  

este strict crescatoare si

Imh = (0;36], deci f((3;9]) = (0;6]. (2)

Din (1) si (2) se deduce imediat ca Imf = [0;6].

c) Functia fiind continua in x = 3, aratam ca derivatele laterale f's(3) si f'd(3) sunt egale

cu -oo si +oo.

Se foloseste corolarul teoremei lui Lagrange si avem succesiv:

lim_{x\nearrow{3}}{f^{lim_{x\nearrow{3}}{f^{'}(x)}=\lim_{x\nearrow{3}}{\frac{-2-2x}{2\sqrt{15-2x-x^2}}}=\cdots=-\infty.

Analog:

lim_{x\searrow{3}}{f^{lim_{x\searrow{3}}{f^{'}(x)}=\lim_{x\searrow{3}}{\frac{18-2x}{2\sqrt{-45+18x-x^2}}}=\cdots=+\infty.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Bette

uIXyDm3R, 15.08.2016 21:44

Thanks for initudocrng a little rationality into this debate.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan