Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 28 Octombrie, 2010

EXERCITIUL 2

Suport teoretic:

Sisteme liniare,inele,clase resturi,modulo 4,divizori zero,determinanti,matrice degenerata,regula Cramer,sistem compatibil nedeterminat. 

Enunt:

Sa se rezolve urmatorul sistem in inelul claselor de resturi modulo 4:

\begin{cases}x+2\hat{y}+z=\hat{0}\\\hat{2}x+y+z=\hat{3}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\end{cases}.\begin{cases}x+2\hat{y}+z=\hat{0}\\\hat{2}x+y+z=\hat{3}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\end{cases}.

Raspuns:

\mathcal{S}=\{(\hat{3},\hat{1},\hat{0}),(\hat{0},\hat{1},\hat{2}),(\hat{1},\hat{2},\hat{3}),(\hat{2},\hat{3},\hat{0})\}.\mathcal{S}=\{(\hat{3},\hat{1},\hat{0}),(\hat{0},\hat{1},\hat{2}),(\hat{1},\hat{2},\hat{3}),(\hat{2},\hat{3},\hat{0})\}.

Rezolvare:

Se calculeaza determinantul asociat matricei sistemului:

\Delta=\begin{vmatrix}\hat{1}&\hat{2}&\hat{1}\\\hat{2}&\hat{1}&\hat{1}\\\hat{1}&\hat{1}&\hat{2}\end{vmatrix}=\cdots=\hat{0}.\Delta=\begin{vmatrix}\hat{1}&\hat{2}&\hat{1}\\\hat{2}&\hat{1}&\hat{1}\\\hat{1}&\hat{1}&\hat{2}\end{vmatrix}=\cdots=\hat{0}.

Intrucat acest determinant este elementul nul al inelului, care nu este

inversabil (matricea sistemului este degenerata), rezulta ca nu se pot folosi

formulele lui Cramer. 

Sa folosim, de exemplu, metoda substitutiei (in egala masura, se poate recurge

la metoda reducerii, dar prezenta divizorilor lui zero din acest inel impune o

atentie suplimentara la calcule). 

Sistemul este echivalent cu:

\begin{cases}x=\hat{2}y+\hat{3}z\\y+\hat{3}z=\hat{3}\\\hat{3}y+z=\hat{1}\end{cases}\begin{cases}x=\hat{2}y+\hat{3}z\\y+\hat{3}z=\hat{3}\\\hat{3}y+z=\hat{1}\end{cases} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \begin{cases}x=\hat{2}y+\hat{3}z\\y=\hat{3}+z\\{y}\in{\mathbb{Z}_{4}}\;(arbitrar)\end{cases}.\begin{cases}x=\hat{2}y+\hat{3}z\\y=\hat{3}+z\\{y}\in{\mathbb{Z}_{4}}\;(arbitrar)\end{cases}.

In continuare se atribuie necunoscutei y, pe rand, cele 4 valori posibile si se

calculeaza x si z corespunzatori.

Observatie: 

Sistemul este compatibil nedeterminat

(compatibil - are solutii, nedeterminat - are mai multe solutii).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

am o nelamurire.

Alex, 08.06.2016 13:39

Daca determinantul nu imi da zero, si imi da alt rezultat, pot sa inlocuiesc in sistem ?

Răspuns: In Z4 nici 2 nu este simetrizabil; daca determinantul este egal cu 1 sau 3, atunci se poate folosi regula lui Cramer.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan