Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 25 Iulie, 2016

EXERCITIUL 18

Suport teoretic:

Functii trigonometrice,functii bijective,functii inversabile,inversa unei functii bijective,

compunerea functiilor . 

Enunt:

Se da functia g:[2π/3;3π/4] - > [1/4;9/16], unde g(x) = sin⁴x .

1) Sa se demonstreze ca functia g este inversabila;

2) Sa se determine inversa  g^{-1}g^{-1}  a functiei g .

3) Sa se arate, pe baza definitiei, ca functiile

g si g^{-1}g^{-1} sunt inverse una celeilalte.

Rezolvare:

1) Din faptul ca

g'(x) = 4sin³xcosx < 0, pentru orice xЄ[2π/3;3π/4], rezulta ca functia este

strict descrescatoare, deci injectiva.

Cum g(2π/3) = 9/16 si g(3π/4) = 1/4, deducem imediat ca f (continua !) este si

surjectiva, deci este bijectiva, prin urmare inversabila.  

2) Fie y arbitrar in intervalul [1/4;9/16] ; avem de aratat ca

exista x unic in intervalul [2π/3;3π/4], astfel incat y = sin⁴x.

Ultima egalitate trebuie privita ca o ecuatie in x, echivalenta, succesiv, cu:

\sqrt[4]{y}=sinx\sqrt[4]{y}=sinx \Leftrightarrow\Leftrightarrow x=arcsin{(\sqrt[4]{y})}\;.x=arcsin{(\sqrt[4]{y})}\;.

Rezulta ca inversa functiei g este:

g^{-1}:{[\frac{1}{4};\frac{9}{16}]}g^{-1}:{[\frac{1}{4};\frac{9}{16}]} \rightarrow\rightarrow  {[\frac{2\pi}{3};\frac{3\pi}{4}]}\;,{[\frac{2\pi}{3};\frac{3\pi}{4}]}\;, g^{-1}(y)=arcsin{(\sqrt[4]{y})}g^{-1}(y)=arcsin{(\sqrt[4]{y})}  

3) Din egalitatile (1) si (2), de mai jos, rezulta ca faptul ca functiile respective sunt

inverse una celeilalte:

(g{\circ}g^{-1})(y)=g(g^{-1}(y))=g(arcsin{\sqrt[4]{y}})=sin^4(arcsin{\sqrt[4]{y}})=\cdots=y;\;(1)(g{\circ}g^{-1})(y)=g(g^{-1}(y))=g(arcsin{\sqrt[4]{y}})=sin^4(arcsin{\sqrt[4]{y}})=\cdots=y;\;(1)

(g^{-1}{\circ}g)(x)=g^{-1}(g(x))=arcsin{\sqrt[4]{g(x)}}=\cdots=x\;.(2)(g^{-1}{\circ}g)(x)=g^{-1}(g(x))=arcsin{\sqrt[4]{g(x)}}=\cdots=x\;.(2)  


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan