Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 25 Octombrie, 2017

EXERCITIUL 17

Suport teoretic:

Siruri convergente,limite de siruri,fractii simple,criteriul Weierstrass. 

Enunt:

Se da sirul Sn definit astfel:

S_n=\sum_1^n{\frac{2}{k(k+1)(k+2)},\;n\in{N^{*}}}\;.S_n=\sum_1^n{\frac{2}{k(k+1)(k+2)},\;n\in{N^{*}}}\;.

1) Sa se demonstreze ca sirul este convergent.

2) Sa se calculeze limita L a acestui sir. 

Raspuns: 

2)  L = 1/2 .

Rezolvare:

1) Folosind  descompunerea in fractii simple (vezi aici), obtinem succesiv :

S_n=\sum_1^n{\frac{2}{k(k+1)(k+2)}}=\sum_1^n{(\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2})}=\cdots=\sum_1^n{(\frac{1}{k}-\frac{2}{k+1}+\frac{1}{k+2})}=\cdots=S_n=\sum_1^n{\frac{2}{k(k+1)(k+2)}}=\sum_1^n{(\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2})}=\cdots=\sum_1^n{(\frac{1}{k}-\frac{2}{k+1}+\frac{1}{k+2})}=\cdots=

=\cdots=\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\;.=\cdots=\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\;.  

Se arata usor acum ca sirul este strict monoton (crescator) si marginit (1/3  Sn < 1/2),

deci convergent, conform criteriului Weierstrass.

2) Evident: L = lim Sn = 1/2.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan