Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 04 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 16

Suport teoretic:

Calcul de primitive,functii continue,identitati trigonometrice,integrare prin parţi.

Enunt:

Sa se calculeze multimea primitivelor functiei

f:R - > R, f(x) = x³sin²x.

Raspuns:

\int{x^3}{{sin}^2}{xdx}=\int{x^3}{{sin}^2}{xdx}= {\frac{1}{16}}(2{x^4}-4{x^3}{sin2x}-6{x^2}{cos2x}+{6x}{sin2x}+3{cos2x})+\mathcal{C}.{\frac{1}{16}}(2{x^4}-4{x^3}{sin2x}-6{x^2}{cos2x}+{6x}{sin2x}+3{cos2x})+\mathcal{C}.

Rezolvare:

Fie

I=\int{x^3}{{sin}^2}{xdx}I=\int{x^3}{{sin}^2}{xdx}

si

J=\int{x^3}{{cos}^2}{xdx};J=\int{x^3}{{cos}^2}{xdx};

Adunam si scadem (membru cu membru) si obtinem sistemul:

\begin{cases}{J+I}=\int{x^3}{dx}\\{J-I}=\int{x^3}{cos2x}{dx}\end{cases}\begin{cases}{J+I}=\int{x^3}{dx}\\{J-I}=\int{x^3}{cos2x}{dx}\end{cases} \Leftrightarrow\Leftrightarrow

\begin{cases}J+I=\frac{x^4}{4}+{\mathcal{C}}_1\\J-I={\frac{1}{16}}{\int{{(2x)^3}{cos2x}{d(2x)}}}\end{cases}\;(1).\begin{cases}J+I=\frac{x^4}{4}+{\mathcal{C}}_1\\J-I={\frac{1}{16}}{\int{{(2x)^3}{cos2x}{d(2x)}}}\end{cases}\;(1).

Avem\;\int{{(2x)^3}{cos2x}{d(2x)}}=Avem\;\int{{(2x)^3}{cos2x}{d(2x)}}= \int{{t^3}{cost}dt}=\int{{t^3}{(sint)}^{\int{{t^3}{cost}dt}=\int{{t^3}{(sint)}^{'}{dt}}=

{t^3}{sint}-\int{{3t^2}{sint}{dt}}={t^3}{sint}-\int{{3t^2}{sint}{dt}}= {t^3}{sint}+3\int{{t^2}{(cost)}^{{t^3}{sint}+3\int{{t^2}{(cost)}^{'}{dt}};\;(2);

apoi 

\int{{t^2}{(cost)}^{\int{{t^2}{(cost)}^{'}dt}= {t^2}{cost}-2\int{t{cost}}{dt}\;(3){t^2}{cost}-2\int{t{cost}}{dt}\;(3)

si, in sfarsit:

\int{t{cost}{dt}}=\int{t{(sint)}^{\int{t{cost}{dt}}=\int{t{(sint)}^{'}}{dt}={tsint}-\int{sint}{dt}={tsint}+{cost}+{\mathcal{C}}_2\;(4).

Din (1), (2), (3) si (4) deducem:

J-I=J-I= \frac{1}{2}{x^3}{sin2x}+\frac{3}{4}{x^2}{cos2x}-\frac{3}{4}{xsin2x}-\frac{3}{8}{cos2x}+{\mathcal{C}}_2.\frac{1}{2}{x^3}{sin2x}+\frac{3}{4}{x^2}{cos2x}-\frac{3}{4}{xsin2x}-\frac{3}{8}{cos2x}+{\mathcal{C}}_2.

Din sistemul cu J + I si J - I obtinem:

I=\int{x^3}{{sin}^2}{xdx}={\frac{1}{16}}(2{x^4}-4{x^3}{sin2x}-6{x^2}{cos2x}+{6x}{sin2x}+3{cos2x})+\mathcal{C}.I=\int{x^3}{{sin}^2}{xdx}={\frac{1}{16}}(2{x^4}-4{x^3}{sin2x}-6{x^2}{cos2x}+{6x}{sin2x}+3{cos2x})+\mathcal{C}.

Postat în: PRIMITIVE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan