Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 27 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 16

Suport teoretic:

Functii rationale,grafic functie,produs cartezian,intersectii multimi,ecuatii gradul 2,semnul unei functii.

Enunt:

Fie functia 

f:R -> R, f(x) = (2x²-2x+1)/(x²+1).

Sa se determine {G_f}\cap{{\mathbb{N}}\times{\mathbb{N}}}.{G_f}\cap{{\mathbb{N}}\times{\mathbb{N}}}.

Raspuns:

{G_f}\cap{{\mathbb{N}}\times{\mathbb{N}}}=\{(0,1),(2,1)\}.{G_f}\cap{{\mathbb{N}}\times{\mathbb{N}}}=\{(0,1),(2,1)\}.

Rezolvare:

Egalitatea (2x²-2x+1)/(x²+1) = y, pentru orice x real devine, dupa cateva calcule

elementare:

(2 - y)·x² - 2x + 1 - y = 0, pentru orice x real; (*) 

Se impune, deci, ca discriminantul ecuatiei sa fie nenegativ; se obtine:

{{y^2}-3y+1}\le{0},\;deci:\;{y}\in{[\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}]}={Imf}.{{y^2}-3y+1}\le{0},\;deci:\;{y}\in{[\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}]}={Imf}.

Cum in Imf sunt doar numerele naturale 1 si 2, ramane sa gasim preimaginile naturale

ale acestora.

Deci, tinand cont de (*),  

pentru y = 1 avem x² - 2x = 0, cu solutiile 0 si 2,

iar

pentru y = 2 avem  -2x - 1 = 0, cu solutia x = -1/2, care nu convine.

Rezulta solutia de mai sus.  

Observatie:

Se poate obtine Imf si cu ajutorul analizei matematice, folosind derivata functiei f.  


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan