Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 16

Suport teoretic:

Functii polinomiale,functii injective,surjective,bijective,functii inversabile,functii derivabile,derivata functiei inverse,ecuatii algebrice,ecuatia tangentei.

Enunt:

Se da functia f:R - > R,

f(x)=6x^5+20x^3+15x^2+30x+6.f(x)=6x^5+20x^3+15x^2+30x+6.

1) Sa se arate ca functia f este inversabila.

2) Sa se arate ca intersectia graficelor functiei f si a inversei sale nu este vida.

3) Sa se scrie ecuatia tangentei la reprezentarea geometrica a graficului functiei inverse

in punctul de abscisa 6.

Raspuns:

3) x - 30y - 6 = 0.

Rezolvare:

1) Din faptul ca f este functie elementara rezulta ca f este continua si, tinand cont ca

lim x - >±oo f(x)=±οο, deducem ca f este surjectiva pe R.

Intrucat

f^{f^{'}(x)=30(x^4+2x^2+x+1)=\cdots=30[{(x^4+x^2)+{(x+\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}}]>{0},

rezulta totodata ca f este strict crescatoare pe R, deci este si injectiva pe R.

Prin urmare, f este bijectiva pe R, deci inversabila.

2) Se stie ca f si inversa sa, g, verifica echivalenta

y = f(x) < = > x = g(y),

unde xЄR, yЄR si au reprezentarile grafice simetrice fata de bisectoarea I, prin urmare

intersectiile lor (daca exista) sunt situate pe dreapta y = x (bisectoarea I).

Asa dar, trebuie aratat ca sistemul format din ecuatiile

(y=6x^5+20x^3+15x^2+30x+6)\;si\;(y=x)(y=6x^5+20x^3+15x^2+30x+6)\;si\;(y=x)

este compatibil in R². Se obtine imediat ecuatia

6x^5+20x^3+15x^2+29x+6=0,6x^5+20x^3+15x^2+29x+6=0,

care, fiind de grad impar, admite cel putin o radacina reala x0, deci graficele respective

au intersectia nevida (contine cel putin perechea (x0 ,y0)ЄR²).

3) Functia inversa este, deci, g:R - > R, x = g(y).

Renotand variabilele, obtinem y = g(x), unde existenta legii functiei g este subinteleasa,

conform punctului 1).

Sa notam cu T(6,b) punctul, in care trebuie identificata ecuatia tangentei; ordonata b

a acestuia este radacina unica a ecuatiei

f(x) = 6 (f fiind injectiva!), adica a ecuatiei

6x^5+20x^3+15x^2+30x=06x^5+20x^3+15x^2+30x=0 \Leftrightarrow\Leftrightarrow x(6x^4+20x^2+15x+30)=0,x(6x^4+20x^2+15x+30)=0,  

adica b = 0.

Ecuatia cautata este de forma

y - b = g'(a)(x - a) < = > y - 0 = g'(6)(x - 6).

Cum g'(6) = 1/f'(0), se obtine imediat g'(6) = 1/30, deci ecuatia cautata este

y = (1/30)(x - 6) < = > x - 30y - 6 = 0.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan