Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 25 Martie, 2015

EXERCITIUL 15

Suport teoretic:

Functii derivabile,functii injective, functii surjective,functii bijective,functii inversabile,

functia gradul 2,derivata functiei inverse.

Enunt:

Fie functia

f:R - > R, f(x) = x³ + x² + x + 1 .

1) Sa se arate ca functia f este inversabila.

2) Sa se calculeze :

(f^{-1})^{(f^{-1})^{'}(0)\;\cdot

Raspuns:

2)\;(f^{-1})^{2)\;(f^{-1})^{'}(0)=\frac{1}{2}\;\cdot

Rezolvare:

1) Intrucat limitele functiei f (evident, continua pe R) spre -oo si +oo sunt -oo,

respectiv +oo, se deduce ca Imf = R, deci f este surjectiva.

Cum f'(x) = 3x² + 2x + 1 > 0, oricare ar fi x real (vezi semnul functiei de gradul al

doilea), rezulta ca functia f este si injectiva (fiind strict crescatoare), deci f este

bijectiva.

2) Din 1) rezulta ca functia f este inversabila, deci admite inversa, pe care o notam cu

f^{-1}\;\cdotf^{-1}\;\cdot

Folosim formula cunoscuta

(f^{-1})^{(f^{-1})^{'}(y)=\frac{1}{f^{'}(x)},

unde y = f(x) si y = 0.

Pentru a afla x (preimaginea lui y) cautam solutia reala (unica!) a ecuatiei

f(x) = 0 < = >  x³ + x² + x + 1 = 0 si gasim, cu usurinta, x = - 1. Deci:

(f^{-1})^{(f^{-1})^{'}(0)=\frac{1}{f^{'}(-1)}=\cdots=\frac{1}{2}\;\cdot


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan