Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 15

Suport teoretic:

Progresii aritmetice,geometrice,sisteme de ecuatii,panta unei drepte,vectori,ecuatii.

Enunt:

Fie sirurile strict crescatoare (an) si (bn) cu nЄN*, care definesc o progresia aritmetica,

respectiv geometrica, avand proprietatile:

a+ a7 = 26, a· a=133, respectiv b7/b3 = 16, b7 - b3 = 180.

1) Sa se gaseasca expresia termenului general al fiecarui sir.

2) Sa se afle panta dreptei (AB), stiind ca A(an,bn) si B(an+1,bn+1).

3) Sa se afle nЄN*, astfel incat norma vectorului AB sa fie egala cu 

3\cdot{\sqrt{7\cdot{2^{n-1}}-7}}.3\cdot{\sqrt{7\cdot{2^{n-1}}-7}}.  

Raspuns:

1)\;a_n=3n-2;b_n=3\cdot{2^{n-1}}.1)\;a_n=3n-2;b_n=3\cdot{2^{n-1}}.

2)\;m_{AB}=2^{n-1}.2)\;m_{AB}=2^{n-1}.

3) n = 4.

Rezolvare:

1) Pentru progresia aritmetica: folosind formula

x² - Sx + P = 0 

se obtine ecuatia

x² - 26x + 133 = 0 cu solutiile 7 si 19.

Rezulta {a= 7 si a7 = 19} sau {a= 19 si a7 = 7}, deci gasim astfel 2 siruri,

unul strict crescator, celalalt strict descrescator, care nu convine.

Retinem, deci, prima varianta, care conduce imediat la  r = 3 si  a1 = 1 si an = 3n - 2.

Pentru progresia geometrica:

b7/b3 = 16 < = > b7 = 16b3 , deci b7 - b3 = 180 < => 16b3 - b3 = 180 < = >

< = > 15b3 = 180 < = > b3 = 12.

Se gaseste apoi b7 = 192, dupa care, din b7/b3 = 16 si se obtine

q = ±2; convine q = 2 si, in final:

b_n=3\cdot{2^{n-1}}.b_n=3\cdot{2^{n-1}}.

2)\;m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\cdots=2^{n-1}.2)\;m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\cdots=2^{n-1}.

3) Expresia analitica a vectorului AB este:

\overrightarrow{AB}=(a_{n+1}-a_n)\vec{i}+(b_{n+1}-b_n)\vec{j}=\cdots=3\vec{i}+3\cdot{2^{n-1}\cdot{\vec{j}}}.\overrightarrow{AB}=(a_{n+1}-a_n)\vec{i}+(b_{n+1}-b_n)\vec{j}=\cdots=3\vec{i}+3\cdot{2^{n-1}\cdot{\vec{j}}}.

Rezulta ca norma vectorului AB este data de formula:

||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{9+9\cdot{2^{2n-2}}}=3\cdot{\sqrt{1+2^{2n-2}}}.||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{9+9\cdot{2^{2n-2}}}=3\cdot{\sqrt{1+2^{2n-2}}}.

Conform ipotezei, avem:

3\cdot{\sqrt{1+2^{2n-2}}}=3\cdot{\sqrt{7\cdot{2^{n-1}}-7}}3\cdot{\sqrt{1+2^{2n-2}}}=3\cdot{\sqrt{7\cdot{2^{n-1}}-7}} \Leftrightarrow\Leftrightarrow 1+2^{2n-2}=7\cdot{2^{n-1}}-71+2^{2n-2}=7\cdot{2^{n-1}}-7 \Leftrightarrow{\cdots}\Leftrightarrow\Leftrightarrow{\cdots}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow\Leftrightarrow 2^{2(n-1)}-7\cdot2^{(n-1)}-8=0.2^{2(n-1)}-7\cdot2^{(n-1)}-8=0.

S-a obtinut o ecuatie reductibila la gradul al doilea cu substitutia

2^{(n-1)}=t,2^{(n-1)}=t,

anume t² - 7t - 8 = 0, cu solutia acceptabila t = 8, de unde n = 4. 

Postat în: PROGRESII-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

clase deresturi

moldoveanu alexandru, 23.03.2015 11:30

doresc teorie

Răspuns: La "Suport teoretic" ai deja 3 link-uri catre teorie, cu acces nerestrictionat !!!

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan