Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 15

Suport teoretic:

Operatii cu matrici,inductia matematica,progresii geometrice.

Enunt: 

Se da matricea: 

A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}.A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}.

Sa se calculeze:

S=\sum_{k=0}^{k=n}{{A}^{2k+1}}.S=\sum_{k=0}^{k=n}{{A}^{2k+1}}.  

Raspuns:

S={\frac{3^{n+1}-1}{2}}\cdot{A}.S={\frac{3^{n+1}-1}{2}}\cdot{A}.

Rezolvare:

Se calculeaza, succesiv, puterile naturale ale lui A, se intuieste ca

A^{2k+1}={3^k}\cdot{A},A^{2k+1}={3^k}\cdot{A},

se demonstreaza, apoi, prin inductie matematica, valabilitatea acestui rezultat, dupa care:

S=\sum_{k=0}^{k=n}{A^{2k+1}}=\sum_{k=0}^{k=n}{{3^k}\cdot{A}}=S=\sum_{k=0}^{k=n}{A^{2k+1}}=\sum_{k=0}^{k=n}{{3^k}\cdot{A}}=

={A}\cdot{\sum_{k=0}^{k=n}{3^k}}={A}\cdot{(1+3+3^2+3^3+\cdots+3^n)}=={A}\cdot{\sum_{k=0}^{k=n}{3^k}}={A}\cdot{(1+3+3^2+3^3+\cdots+3^n)}=

={A}\cdot{\frac{3^{n+1}-1}{3-1}}={A}\cdot{\frac{3^{n+1}-1}{2}}.={A}\cdot{\frac{3^{n+1}-1}{3-1}}={A}\cdot{\frac{3^{n+1}-1}{2}}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan