Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 03 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 14

Suport teoretic:

Functii injective,surjective,bijective,functii derivabile,inversa functiei bijective.

Enunt: 

Sa se calculeze valoarea maxima a numarului real m, astfel incat functia

f:R - > R, f(x) = x³ - mx² + 2mx - 5 

sa fie bijectiva si, apoi, pentru valoarea gasita a parametrului m, sa se determine inversa

functiei f.

Raspuns:


m=6;\;f^{-1}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},f^{-1}(x)=2+\sqrt[3]{x-3}.m=6;\;f^{-1}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},f^{-1}(x)=2+\sqrt[3]{x-3}.

Rezolvare:

Intrucat functia f este continua pe R si ia valori de la -oo la +oo, rezulta de aici ca

bijectivitatea se reduce la injectivitate, deci functia trebuie sa fie strict crescatoare pe R,

adica functia derivata trebuie sa fie pozitiva pe R. 

Se gaseste in final mЄ[0;6], deci valoarea ceruta este 6, iar legea functiei devine

f(x) = x³ - 6x² + 12x - 5,

sau

f(x) = (x - 2)³ + 3.

Pentru a gasi legea inversei, scriem succesiv:

f(x)=(x-2)^3+3\Leftrightarrow{y=(x-2)^3+3}\Leftrightarrow{(x-2)^3=y-3}\Leftrightarrow{x=2+\sqrt[3]{y-3}},f(x)=(x-2)^3+3\Leftrightarrow{y=(x-2)^3+3}\Leftrightarrow{(x-2)^3=y-3}\Leftrightarrow{x=2+\sqrt[3]{y-3}}, de\; unde\; rezulta:de\; unde\; rezulta: f^{-1}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},f^{-1}(y)=2+\sqrt[3]{y-3},\,{sau}\,f^{-1}(x)=2+\sqrt[3]{x-3}.f^{-1}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},f^{-1}(y)=2+\sqrt[3]{y-3},\,{sau}\,f^{-1}(x)=2+\sqrt[3]{x-3}.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan