Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 24 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 14

Suport teoretic:

Inductie matematica,calcule matrice patratice.

Enunt:

Se da matricea:

A=\begin{pmatrix}i&-i\\-i&i\end{pmatrix},A=\begin{pmatrix}i&-i\\-i&i\end{pmatrix},

unde i² = -1.

Sa se demonstreze prin metoda inductiei matematice ca:

A^n={{(2i)}^{n-1}}\cdot{A},A^n={{(2i)}^{n-1}}\cdot{A},

oricare ar fi n natural nenul.

Demonstratie:

1) Etapa verificarii:

Fie: 

P(n):A^n={{(2i)}^{n-1}}\cdot{A},P(n):A^n={{(2i)}^{n-1}}\cdot{A},

oricare ar fi n natural si nenul.

Avem: 

P(1):A^1={{(2i)}^{1-1}}\cdot{A}={(2i)^0}\cdot{A}=A,P(1):A^1={{(2i)}^{1-1}}\cdot{A}={(2i)^0}\cdot{A}=A,

adevarat.

2) Etapa demonstratiei implicatiei:

P(n) => P(n+1), pentru orice n natural si nenul, unde

P(n+1):A^{n+1}={{(2i)}^{n}}\cdot{A},P(n+1):A^{n+1}={{(2i)}^{n}}\cdot{A},

oricare care fi n natural si nenul.

{P(n)}\Rightarrow{P(n)}\Rightarrow A^{n+1}={A^n}\cdot{A}={[{(2i)^{n-1}}\cdot{A}]}\cdot{A}={(2i)^{n-1}}\cdot{A^2}=\cdots=A^{n+1}={A^n}\cdot{A}={[{(2i)^{n-1}}\cdot{A}]}\cdot{A}={(2i)^{n-1}}\cdot{A^2}=\cdots= ={(2i)^{n-1}}\cdot{\begin{pmatrix}-2&2\\2&-2\end{pmatrix}}={(2i)^{n-1}}\cdot{\begin{pmatrix}2i^2&-2i^2\\-2i^2&2i^2\end{pmatrix}}={(2i)^{n}}\cdot{\begin{pmatrix}i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}=={(2i)^{n-1}}\cdot{\begin{pmatrix}-2&2\\2&-2\end{pmatrix}}={(2i)^{n-1}}\cdot{\begin{pmatrix}2i^2&-2i^2\\-2i^2&2i^2\end{pmatrix}}={(2i)^{n}}\cdot{\begin{pmatrix}i&-i\\-i&i\end{pmatrix}}=

={(2i)^n}\cdot{A}.={(2i)^n}\cdot{A}.

Din 1) si 2), rezulta ca propozitia P(n) este adevarata pentru orice n natural nenul, conform principiului inductiei matematice.       


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan