Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 20 Septembrie, 2016

EXERCITIUL 13

Suport teoretic:

Integrale definite,schimbari de variabila,integrare prin parti,functia logaritm natural . 

Enunt: 

Sa se demonstreze ca:

{ln2}<{\int_e^{e^2}}{ln(lnx)dx}+\int_1^2{\frac{e^x}{x}dx}<{e^2}\;.{ln2}<{\int_e^{e^2}}{ln(lnx)dx}+\int_1^2{\frac{e^x}{x}dx}<{e^2}\;.  

Demonstratie:

Notand lnx = t, rezulta imediat:

\int_e^{e^2}{ln(lnx)dx}=\int_1^2{{(lnt)}\cdot{(e^t)}^{\int_e^{e^2}{ln(lnx)dx}=\int_1^2{{(lnt)}\cdot{(e^t)}^{'}}dt={e^t}\cdot{lnt}|_1^2-\int_1^2{\frac{e^t}{t}}dt=

={e^2}\cdot{ln2}-\int_1^2{\frac{e^x}{x}dx}\;.={e^2}\cdot{ln2}-\int_1^2{\frac{e^x}{x}dx}\;.

(Renotarea variabilei t cu x lasa neschimbata valoarea ultimei integrale definite) . 

In final, avem : 

\int_e^{e^2}{ln(lnx)dx}+\int_1^2{\frac{e^x}{x}dx}={e^2}\cdot{ln2}\;.\int_e^{e^2}{ln(lnx)dx}+\int_1^2{\frac{e^x}{x}dx}={e^2}\cdot{ln2}\;.  

Tinand cont de faptul ca e² > 1 si ln2 < 1, se verifica imediat dubla inegalitate din enunt .


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan