Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 13

Suport teoretic:

Ingalitatea lui Jensen,proprietatile functiilor derivabile,functia sinus,suma masurilor

unghiurilor,poligoane convexe.

Enunt:

Demonstrati inegalitatea:

{\sqrt{sinA_1}+\sqrt{sinA_2}+\cdots+\sqrt{sinA_{12}}}\le{6\sqrt{2}},{\sqrt{sinA_1}+\sqrt{sinA_2}+\cdots+\sqrt{sinA_{12}}}\le{6\sqrt{2}},

unde  A1A2...A12 este un poligon convex cu 12 laturi. 

Demonstratie:

Fie functia f:(0,π) - > R, unde f(x)=\sqrt{sinx}.f(x)=\sqrt{sinx}.

Avem, succesiv:

{f^{{f^{'}}(x)={\frac{cosx}{2\sqrt{sinx}}}\Rightarrow{f^{"}}(x)=\cdots={-{\frac{1+sin^2x}{4sinx\sqrt{sinx}}}}<{0},\forall{x\in{(0,\pi})}.

Rezulta de aici ca functia f este concava pe intervalul (0,π), deci, conform

inegalitatii lui Jensen pentru functii concavevom avea:

{f(\frac{A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{12}}{12})}\ge{\frac{f(A_1)+f(A_2)+\cdots+f(A_{12})}{12}}.{f(\frac{A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{12}}{12})}\ge{\frac{f(A_1)+f(A_2)+\cdots+f(A_{12})}{12}}.

Deci:

\sqrt{sin{\frac{{180^{\circ}}\cdot{(12-2)}}{12}}}\sqrt{sin{\frac{{180^{\circ}}\cdot{(12-2)}}{12}}} \ge\ge {\frac{\sqrt{sinA_1}+\sqrt{sinA_2}+\cdots+\sqrt{sinA_{12}}}{12}}{\frac{\sqrt{sinA_1}+\sqrt{sinA_2}+\cdots+\sqrt{sinA_{12}}}{12}}   etc.

Postat în: INEGALITATI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan