Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 03 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 12

Suport teoretic:

Inegalitatea Jensen,functii convexe.

Enunt:

Sa se demonstreze ca pentru orice n natural si nenul are loc inegalitatea:

{(\frac{n+1}{2})}^{\frac{n+1}{2}}\leq{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{i=n}}}{i^i},{(\frac{n+1}{2})}^{\frac{n+1}{2}}\leq{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{i=n}}}{i^i},

unde, prin conventie, se defineste \sqrt[1]{1}=1.\sqrt[1]{1}=1.

Demonstratie:

{(\frac{n+1}{2})}^{\frac{n+1}{2}}\leq{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{i=n}}}{i^i}\Leftrightarrow{(\frac{n+1}{2})}^{\frac{n+1}{2}}\leq{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{i=n}}}{i^i}\Leftrightarrow {\frac{n+1}{2}}{\ln{(\frac{n+1}{2})}}\leq{\frac{1}{n}}{\ln{\prod_{i=1}^{i=n}{i^i}}}\Leftrightarrow{\frac{n+1}{2}}{\ln{(\frac{n+1}{2})}}\leq{\frac{1}{n}}{\ln{\prod_{i=1}^{i=n}{i^i}}}\Leftrightarrow {\frac{n(n+1)}{2n}}{\ln{\frac{n(n+1)}{2n}}}\leq{\frac{1}{n}}[\ln{1^1}+\ln{2^2}+\cdots+\ln{n^n}]\Leftrightarrow{\frac{n(n+1)}{2n}}{\ln{\frac{n(n+1)}{2n}}}\leq{\frac{1}{n}}[\ln{1^1}+\ln{2^2}+\cdots+\ln{n^n}]\Leftrightarrow {\frac{1+2+\cdots+n}{n}}{\ln{\frac{1+2+\cdots+n}{n}}}\leq{\frac{1}{n}}(1\ln{1}+2\ln{2}+\cdots+n\ln{n}).{\frac{1+2+\cdots+n}{n}}{\ln{\frac{1+2+\cdots+n}{n}}}\leq{\frac{1}{n}}(1\ln{1}+2\ln{2}+\cdots+n\ln{n}).

Pentru a arata ca aceasta ultima inegalitate este adevarata, folosim functia

f:(0,+oo) - > R, f(x) = x·lnx => f''(x) = 1/x > 0,

oricare ar fi x > 0 => f convexa pe (0,+oo); se aplica inegalitatea lui Jensen functiei

convexe f, relativ la sistemul de puncte xk = k,

{k}={\overline{1,n}}{k}={\overline{1,n}}  

si se obtine:

{f(\frac{{x_1}+{x_2}+\cdots+{x_n}}{n})}\leq{\frac{1}{n}}{[f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)]}{f(\frac{{x_1}+{x_2}+\cdots+{x_n}}{n})}\leq{\frac{1}{n}}{[f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)]} <=>

<=> {\frac{1+2+\cdots+n}{n}}{\ln{\frac{1+2+\cdots+n}{n}}}\leq{\frac{1}{n}}(1\ln{1}+2\ln{2}+\cdots+n\ln{n}).{\frac{1+2+\cdots+n}{n}}{\ln{\frac{1+2+\cdots+n}{n}}}\leq{\frac{1}{n}}(1\ln{1}+2\ln{2}+\cdots+n\ln{n}).

Postat în: INEGALITATI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan