Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 13 Februarie, 2016

EXERCITIUL 12

Suport teoretic:

Polinoame coeficienti reali,media armonica,puncte critice,sirul lui Rolle,relatiile lui Viete,schema lui Horner.

Enunt:

Fie polinomul

fЄR[X], f = X³ - 6X² + 11X - m,

a) Sa se afle mЄR, astfel incat toate radacinile sale sa fie reale, pozitive si

distincte.

b) Tinand cont de a), sa se rezolve ecuatia f(x) = 0, stiind ca media armonica a

radacinilor este egala cu 18/11.

Raspuns: 

a)\;m\in{(\frac{2(27-\sqrt{3})}{9};\frac{2(27+\sqrt{3})}{9})}\cdota)\;m\in{(\frac{2(27-\sqrt{3})}{9};\frac{2(27+\sqrt{3})}{9})}\cdot

b) m = 6 ; S = {{1;2;3)} . 

Rezolvare:

a) Pentru functia asociata polinomului, anume

f:R - > R, f(x) = x³ - 6x² + 11x - m,

sirul lui Rolle trebuie sa contina 3 variatii de semn; intrucat limitele la

-oo si +oo sunt -oo, respectiv +oo, trebuie ca functia f sa aiba 2 puncte critice

x1, x2 > 0 (radacini ale ecuatiei f'(x) = 0), iar f(x1) > 0 si f(x2) < 0. (1)

Deci :

f'(x) = 3x² - 12x + 11 = 0 = > x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{3}}{3}\cdotx_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{3}}{3}\cdot (2)

Din (1) si (2) rezulta, dupa calcule elementare:

m\in{(\frac{2(27-\sqrt{3})}{9};\frac{2(27+\sqrt{3})}{9})}\cdotm\in{(\frac{2(27-\sqrt{3})}{9};\frac{2(27+\sqrt{3})}{9})}\cdot

Rezulta totodata ca m > 0; cum f(0) = -m < 0, iar x1 > 0, deducem radacinile

sunt toate pozitive.

b) Notand cele 3 radacini reale si pozitive cu a, b, c, avem:

\frac{3abc}{ab+bc+ca}=\frac{18}{11}\cdot\frac{3abc}{ab+bc+ca}=\frac{18}{11}\cdot

Folosind relatiile lui Viete, gasim imediat m = 6, deci ecuatia f(x) = 0 devine

x³ - 6x² + 11x - 6 = 0.

Testand divizorii termenului liber (-6) cu ajutorul schemei lui Horner

(sau chiar direct in ecuatie!) se obtin usor cele 3 radacini cautate.

Pentru mai multe detalii, vezi aici!


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic

Developed by Hagau Ioan