Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 12

Suport teoretic:

Limite de siruri,sume,logaritmi,Weierstrass,functii derivabile,Stolz-Césaro,l'Hospital.

Enunt:

Se definesc sirurile (an) si (bn), unde nЄN*\{1}, astfel incat:

a_n=\sum_{i=2}^{i=n}{(\sum_{j=2}^{j=i}{ln(\frac{j}{j-1})})}\;si\;b_n=\frac{a_n}{ln(n+1)!}.a_n=\sum_{i=2}^{i=n}{(\sum_{j=2}^{j=i}{ln(\frac{j}{j-1})})}\;si\;b_n=\frac{a_n}{ln(n+1)!}.

Sa se calculeze L = lim(bn).

Raspuns:

L = 1.

Rezolvare:

Maui intai sa gasim forma cea mai simpla a termenului general al sirului (an):

Fie\;\sum_{j=2}^{j=i}{ln(\frac{j}{j-1})}=\sum_{j=2}^{j=i}{(lnj-ln(j-1))}=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+\cdots+(lni-ln(i-1))=lni-ln1=lni;\;deci:Fie\;\sum_{j=2}^{j=i}{ln(\frac{j}{j-1})}=\sum_{j=2}^{j=i}{(lnj-ln(j-1))}=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+\cdots+(lni-ln(i-1))=lni-ln1=lni;\;deci:

a_n=\sum_{i=2}^{i=n}{lni}=ln2+ln3+ln4+\cdots+lnn=ln(2\cdot{3}\cdot{4}\cdots{n})=lnn!\;.a_n=\sum_{i=2}^{i=n}{lni}=ln2+ln3+ln4+\cdots+lnn=ln(2\cdot{3}\cdot{4}\cdots{n})=lnn!\;.

Rezulta\;ca\;b_n=\frac{a_n}{ln(n+1)!}=\frac{lnn!}{ln(n+1)!}.Rezulta\;ca\;b_n=\frac{a_n}{ln(n+1)!}=\frac{lnn!}{ln(n+1)!}.

La calculul limitei cerute se obtine operatia exceptata oo/oo: se foloseste criteriul 

Stolz-Cesaro si avem, succesiv:

L=lim(b_n)=lim{\frac{lnn!}{ln(n+1)!}}=lim{\frac{ln(n+1)!-lnn!}{ln(n+2)!-ln(n+1)!}}=\cdots=lim{\frac{ln(n+1)}{ln(n+2)}}.L=lim(b_n)=lim{\frac{lnn!}{ln(n+1)!}}=lim{\frac{ln(n+1)!-lnn!}{ln(n+2)!-ln(n+1)!}}=\cdots=lim{\frac{ln(n+1)}{ln(n+2)}}.

Observam ca operatia exceptata se mentine in continuare; pentru a trata acest caz,

se construieste functia derivabila 

f:[2,+\infty),\;f(x)=\frac{ln(x+1)}{ln(x+2)}\;si\;se\;calculeaza\;lim_{x\rightarrow{\infty}}{f(x)}=lim_{x\rightarrow{\infty}}{\frac{ln(x+1)}{ln(x+2)}}\cdotf:[2,+\infty),\;f(x)=\frac{ln(x+1)}{ln(x+2)}\;si\;se\;calculeaza\;lim_{x\rightarrow{\infty}}{f(x)}=lim_{x\rightarrow{\infty}}{\frac{ln(x+1)}{ln(x+2)}}\cdot

Se elimina operatia exceptata cu ajutorul regulii lui l'Hospital si se obtine cu usurinta 

limita 1. Este de la sine inteles ca  

L=lim{\frac{ln(n+1)}{ln(n+2)}}=lim_{x\rightarrow{\infty}}{\frac{ln(x+1)}{ln(x+2)}}=1\cdotL=lim{\frac{ln(n+1)}{ln(n+2)}}=lim_{x\rightarrow{\infty}}{\frac{ln(x+1)}{ln(x+2)}}=1\cdot  

Postat în: SUME-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan