Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 28 Octombrie, 2014

EXERCITIUL 1.10

Suport teoretic:

Triunghiuri,centru de greutate,teorema bisectoarei,vectori.

Enunt:

Fie un triunghi ABC, dreptunghic in A, in care AB = 4a, Ac = 3a, G este

centrul de greutate, iar D este piciorul bisectoarei din C.

Sa se calculeze norma vectorului \overrightarrow{DG}.\overrightarrow{DG}.

Raspuns:

|\overrightarrow{DG}|=\frac{a\sqrt{37}}{6}.|\overrightarrow{DG}|=\frac{a\sqrt{37}}{6}.

Rezolvare:

\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}= \overrightarrow{DA}+3a{\vec{j}}+{\frac{2}{3}}\cdot{\overrightarrow{CE}}=\cdots=\overrightarrow{DA}+3a{\vec{j}}+{\frac{2}{3}}\cdot{\overrightarrow{CE}}=\cdots= \overrightarrow{DA}+3a{\vec{j}}+\frac{-3a{\vec{j}}-3a{\vec{j}}+4a{\vec{i}}}{3}=\cdots=\overrightarrow{DA}+3a{\vec{j}}+\frac{-3a{\vec{j}}-3a{\vec{j}}+4a{\vec{i}}}{3}=\cdots=

{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} \cdot\cdot (3{\overrightarrow{DA}}+3a{\vec{j}}+4a{\vec{i}});(1)(3{\overrightarrow{DA}}+3a{\vec{j}}+4a{\vec{i}});(1)

( Am considerat sistemul de axe definit de dreptele perpendiculare AB şi AC, unde

\vec{i}\;si\;\vec{j}\vec{i}\;si\;\vec{j} sunt versorii axelor (AB (axa absciselor), respectiv 

(AC (axa ordonatelor)). 

Din teorema bisectoarei se deduce:

\frac{DA}{DB}=\frac{AC}{BC}\frac{DA}{DB}=\frac{AC}{BC} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \frac{DA}{DA+DB}=\frac{AC}{AC+BC}\frac{DA}{DA+DB}=\frac{AC}{AC+BC} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \dots\dots \Leftrightarrow\Leftrightarrow DA=\frac{3a}{2};(2).DA=\frac{3a}{2};(2).

Din 1) şi 2) se deduce:

\overrightarrow{DG}={\frac{1}{3}}({-\frac{9a}{2}}{\vec{i}}+3a{\vec{j}}+4a{\vec{i}})=\cdots={-\frac{a}{6}}{\vec{i}}+a{\vec{j}}\overrightarrow{DG}={\frac{1}{3}}({-\frac{9a}{2}}{\vec{i}}+3a{\vec{j}}+4a{\vec{i}})=\cdots={-\frac{a}{6}}{\vec{i}}+a{\vec{j}} \Rightarrow\Rightarrow |\overrightarrow{DG}|=\sqrt{{(\frac{-a}{6})}^{2}+a^2}=\cdots=\frac{a{\sqrt{37}}}{6}.|\overrightarrow{DG}|=\sqrt{{(\frac{-a}{6})}^{2}+a^2}=\cdots=\frac{a{\sqrt{37}}}{6}.

Postat în: VECTORI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan