Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 11

Suport teoretic:

Ecuatii algebrice,polinoame cu coeficienti intregi,functii polinomiale,numere irationale,numere complexe nereale,rolul derivatei intai,descompuneri in factori.

Enunt:

Se da polinomul cu coeficienti intregi

f=X^4-X^3-2X^2+3X-3.f=X^4-X^3-2X^2+3X-3.

a) Sa se demonstreze ca ecuatia algebrica f(x) = 0 are exact 2 radacini reale, anume

2 numere irationale distincte.

b) Sa se rezolve in C ecuatia algebrica f(x) = 0.

Raspuns:

b)\;S=\{\pm{\sqrt{3}};\frac{1\pm{i}{\sqrt{3}}}{2}\}.b)\;S=\{\pm{\sqrt{3}};\frac{1\pm{i}{\sqrt{3}}}{2}\}.

Rezolvare:

a) Fie functia polinomiala

f:R\rightarrow{R},f(x)=x^4-x^3-2x^2+3x-3,f:R\rightarrow{R},f(x)=x^4-x^3-2x^2+3x-3,

cu

f'(x) = 4x³ - 3x² - 4x + 3 = ... = (x² - 1)(4x - 3).

Studiind semnul functiei derivate pe R, gasim, cu usurinta, ca functia f este:

  • strict descrescatoare pe (-oo,-1) si pe (3/4,1),
  • strict crescatoare pe (-1,3/4) si pe (1,oo)

Cum limitele functiei f la ±οο sunt egale cu +oo, iar f(-1) < 0, f(3/4) < 0 si f(1) < 0,

deducem ca functia f (continua) se anuleaza in exact doua puncte: x1 < -1 si x2 >1.

Sa observam, totodata, ca aceste radacini reale sunt irationale (daca ar fi rationale,

ar trebui sa divida termenul liber al polinomului f, anume -3, insa se verifica usor ca 

divizorii acestuia nu sunt radacini).

b)\;f=X^4-X^3-2X^2+3X-3=X^4-X^3-3X^2+X^2+3X-3=b)\;f=X^4-X^3-2X^2+3X-3=X^4-X^3-3X^2+X^2+3X-3=

=X^2(X^2-3)-X(X^2-3)+(x^2-3)=(X^2-3)(X^2-X+1)\;etc.=X^2(X^2-3)-X(X^2-3)+(x^2-3)=(X^2-3)(X^2-X+1)\;etc.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan