Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 01 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 11

Suport teoretic:

Identitati,inegalitati remarcabile,modul numar real,operatii multimi,rolul derivatei intai,

studiul functiilor.

Enunt:

Fie functia

f:R* - > R, f(x) = x + 1/x.

Sa se demonstreze ca Imf = (-oo;-2]U[2;+oo).

DEMONSTRATIA I:

Avem de aratat ca pentru orice xЄR* rezulta y = f(x)Є(-oo;-2]U[2;+oo)

si reciproc:

oricare ar fi yЄ(-oo;-2]U[2;+oo), exista xЄR*, astfel incat f(x) = y.

Direct:

Pentru orice xЄR* trebuie aratat ca

|f(x)| 2 < = > |x + 1/x| 2 < = > |(x² + 1)/x| 2 < = >

< = > (x² + 1)/|x| 2 < = > x² + 1 2|x| < = > |x|² + 1 - 2|x| ≥ 0 < = > 

< = > (|x| - 1)² ≥ 0, adevarat.

Reciproc:

Fie y = f(x)Є(-oo;-2]U[2;+oo); sa aratam ca ecuatia x + 1/x = y are cel putin o

radacina in R*.

Ecuatia devine x² - yx + 1 = 0 cu discriminantul Δ = y² - 4, evident nenegativ, deci,

admite radacini reale (nenule !).

DEMONSTRATIA II:

Derivata functiei f este f'(x) = 1 - 1/x², radacinile sale (punctele critice ale functiei f)

fiind -1 si +1.

Se constata usor ca f'(x) 0 pentru xЄ(-oo;-1]U[+1;+oo) si f(x) < 0 pentru

xЄ(-1;0)U(0;+1), prin urmare functia f este: 

  • strict crescatoare pe intervalul (-oo;-1] (de la -oo la f(-1) = - 2),
  • strict descrescatoare pe (-1;0) (de la -2 la -oo) si pe (0;1) (de la +oo la 2), 

in sfarsit 

  • strict crescatoare pe [1;+oo) (de la 2 la +oo). 

Deci |f(x)| 2.

Tinand cont ca functia f este continua pe R* rezulta ca Imf = (-oo;-2]U[2;+oo).

Interpretare geometrica: 

                                                   

Observatie:

De retinut inegalitatea remarcabila:

|x+\frac{1}{x}|\ge{2},\;\forall{x}\in{\mathbb{R^*}}.|x+\frac{1}{x}|\ge{2},\;\forall{x}\in{\mathbb{R^*}}.

Postat în: INEGALITATI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan