Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 01 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 11

Suport teoretic:

Sume trigonometrice,ecuatii trigonometrice,functii trigonometrice inverse,identitati

trigonometrice.

Enunt:

Sa se rezolve in multimea numerelor naturale, mai mari sau egale cu 2, ecuatia:

\sum_{k=1}^{k=x-1}(\arcsin{\frac{1}{k}}+\arccos{\frac{1}{k+1}})=2011\cdot\frac{\pi}{2} +\arcsin{\frac{1}{x}}.\sum_{k=1}^{k=x-1}(\arcsin{\frac{1}{k}}+\arccos{\frac{1}{k+1}})=2011\cdot\frac{\pi}{2} +\arcsin{\frac{1}{x}}.

Raspuns:

x = 2012.

Rezolvare:

Evaluam, mai întâi, suma din membrul întâi al ecuatiei, folosind

identitatea trigonometrica remarcabila

\arcsin{x}+\arccos{x}=\frac{\pi}{2},\forall{x}\in[-1,+1]:\arcsin{x}+\arccos{x}=\frac{\pi}{2},\forall{x}\in[-1,+1]:

\sum_{k=1}^{k=x-1}(\arcsin{\frac{1}{k}}+ \arccos{\frac{1}{k+1}})=\sum_{k=1}^{k=x-1}(\arcsin{\frac{1}{k}}+ \arccos{\frac{1}{k+1}})= \sum_{k=1}^{k=x-1}(\frac{\pi}{2}-\arccos{\frac{1}{k}}+\arccos{\frac{1}{k+1}})=\sum_{k=1}^{k=x-1}(\frac{\pi}{2}-\arccos{\frac{1}{k}}+\arccos{\frac{1}{k+1}})= =(x-1)\cdot\frac{\pi}{2}-\sum_{k=1}^{k=x-1}(\arccos{\frac{1}{k}}-\arccos{\frac{1}{k+1}})=\cdots==(x-1)\cdot\frac{\pi}{2}-\sum_{k=1}^{k=x-1}(\arccos{\frac{1}{k}}-\arccos{\frac{1}{k+1}})=\cdots=

=(x-1)\cdot\frac{\pi}{2}+\arccos{\frac{1}{x}}.=(x-1)\cdot\frac{\pi}{2}+\arccos{\frac{1}{x}}.

Deci ecuatia devine:

(x-1)\cdot\frac{\pi}{2}+\arccos{\frac{1}{x}}=2011\cdot\frac{\pi}{2}+\arcsin{\frac{1}{x}}\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow x=2012.(x-1)\cdot\frac{\pi}{2}+\arccos{\frac{1}{x}}=2011\cdot\frac{\pi}{2}+\arcsin{\frac{1}{x}}\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow x=2012.

Postat în: SUME-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan