Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

»APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE-liceu

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 10

Suport teoretic:

Functii polinomiale,functii bijective,functii inverse,functii derivabile,radacini rationale,schema lui Horner,aria subgraficului.

Enunt:

Fie functia polinomiala f:R - > R, definita prin legea:

$f(x)=3x^5+2x^4+9x^3+6x^2+6x+4.$ f(x)=3x^5+2x^4+9x^3+6x^2+6x+4.

1) Sa se demonstreze ca functia f este bijectiva.

2) Sa se calculeze derivata inversei functiei f in punctul yo = 0.

3) Sa se calculeze aria domeniului marginit de reprezentarea grafica a

functiei f, axa absciselor si dreptele de ecuatii x = -2 si x = -1.

Raspuns:

2) $(f^{-1})^{$ (f^{-1})^{'}(y_{\circ})=\frac{1}{f^{'}(x_{\circ})} $=\frac{1}{f^{$ =\frac{1}{f^{'}(-\frac{2}{3})} $\cdots=10\frac{16}{27}.$ \cdots=10\frac{16}{27}.

3) $\mathcal{A}=\int_{-2}^{-1}|f(x)|dx=$ \mathcal{A}=\int_{-2}^{-1}|f(x)|dx= $-\int_{-2}^{-1}f(x)dx=\cdots=69\frac{9}{20}.$ -\int_{-2}^{-1}f(x)dx=\cdots=69\frac{9}{20}.

Rezolvare:

1) $f^{$ f^{'}(x)=15x^4+8x^3+27x^2+12x+6=

=x²(15x² + 8x + 20) + (7x² + 12x + 6).

Cum trinoamele

15x² + 8x + 20 > 0

7x² + 12x + 6 > 0, oricare ar fi xЄR,

intrucat discriminantii sunt negativi si coeficientii dominanti sunt pozitivi,

(vezi semnul functiei de gradul al doilea), rezulta imediat ca f'(x) > 0, pentru orice xЄR.

Rezulta ca functia f este strict crescatoare pe R, creste de la -oo la +oo (grad(f) = 5,

numar impar); fiind si continua, rezulta imediat ca este bijectiva.

2) Fie formula cunoscuta

$(f^{-1})^{$ (f^{-1})^{'}(y_{\circ})=\frac{1}{f^{'}(x_{\circ})}, unde f(xo) = yo.

Tinand cont de monotonia functiei f, deducem ca exista un singur numar real xo ,

astfel incat f(xo) = 0 = yo , prin urmare xo este unica solutie reala a ecuatiei f(x) = 0.

Intrucat

f(-1) = -3 + 2 - 9 + 6 - 6 + 4 = -6 < 0

f(0) = 4 > 0,

rezulta ca -1 < xo < 0.

Testam cu schema lui Horner eventuale radacini rationale din intervalul (-1;0),

folosind teoria privind radacinile rationale ale unei ecuatii algebrice cu coeficienti intregi

si gasim xo = -2/3. Deci:

$(f^{-1})^{$ (f^{-1})^{'}(y_{\circ})=\frac{1}{f^{'}(x_{\circ})} $=\frac{1}{f^{$ =\frac{1}{f^{'}(-\frac{2}{3})} $\cdots=10\frac{16}{27}.$ \cdots=10\frac{16}{27}.

3) Avand in vedere cele de mai sus, rezulta ca f(x) < 0 pentru xЄ[-2;-1], deci

$\mathcal{A}=\int_{-2}^{-1}|f(x)|dx=$ \mathcal{A}=\int_{-2}^{-1}|f(x)|dx= $-\int_{-2}^{-1}f(x)dx=\cdots=69\frac{9}{20}.$ -\int_{-2}^{-1}f(x)dx=\cdots=69\frac{9}{20}.

Postat în: APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE-liceu

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

EXERCITIUL 10

Răspunsuri şi comentarii

CATEGORII :

Arhiva blog-ului