Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.
EXERCITIUL 10
Suport teoretic:
Functii polinomiale,functii bijective,functii inverse,functii derivabile,radacini rationale,schema lui Horner,aria subgraficului.
Enunt:
Fie functia polinomiala f:R - > R, definita prin legea:
f(x)=3x^5+2x^4+9x^3+6x^2+6x+4.
1) Sa se demonstreze ca functia f este bijectiva.
2) Sa se calculeze derivata inversei functiei f in punctul yo = 0.
3) Sa se calculeze aria domeniului marginit de reprezentarea grafica a
functiei f, axa absciselor si dreptele de ecuatii x = -2 si x = -1.
Raspuns:
2)3) \mathcal{A}=\int_{-2}^{-1}|f(x)|dx=
-\int_{-2}^{-1}f(x)dx=\cdots=69\frac{9}{20}.
Rezolvare:
1) f^{'}(x)=15x^4+8x^3+27x^2+12x+6=
=x²(15x² + 8x + 20) + (7x² + 12x + 6).
Cum trinoamele
15x² + 8x + 20 > 0
si
7x² + 12x + 6 > 0, oricare ar fi xЄR,
intrucat discriminantii sunt negativi si coeficientii dominanti sunt pozitivi,
(vezi semnul functiei de gradul al doilea), rezulta imediat ca f'(x) > 0, pentru orice xЄR.
Rezulta ca functia f este strict crescatoare pe R, creste de la -oo la +oo (grad(f) = 5,
numar impar); fiind si continua, rezulta imediat ca este bijectiva.
2) Fie formula cunoscuta
(f^{-1})^{'}(y_{\circ})=\frac{1}{f^{'}(x_{\circ})}, unde f(xo) = yo.
Tinand cont de monotonia functiei f, deducem ca exista un singur numar real xo ,
astfel incat f(xo) = 0 = yo , prin urmare xo este unica solutie reala a ecuatiei f(x) = 0.
Intrucat
f(-1) = -3 + 2 - 9 + 6 - 6 + 4 = -6 < 0
si
f(0) = 4 > 0,
rezulta ca -1 < xo < 0.
Testam cu schema lui Horner eventuale radacini rationale din intervalul (-1;0),
folosind teoria privind radacinile rationale ale unei ecuatii algebrice cu coeficienti intregi
si gasim xo = -2/3. Deci:
(f^{-1})^{'}(y_{\circ})=\frac{1}{f^{'}(x_{\circ})}
=\frac{1}{f^{'}(-\frac{2}{3})}
\cdots=10\frac{16}{27}.
3) Avand in vedere cele de mai sus, rezulta ca f(x) < 0 pentru xЄ[-2;-1], deci
\mathcal{A}=\int_{-2}^{-1}|f(x)|dx=
-\int_{-2}^{-1}f(x)dx=\cdots=69\frac{9}{20}.
Răspunsuri şi comentarii
Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.
CATEGORII :
- 1. CUM ABORDAM O PROBLEMA? (0)
- 2. BREVIAR TEORETIC-gimnaziu
- 3. ALGORITMI IN MATEMATICA DE GIMNAZIU
-
4. BREVIAR TEORETIC-liceu
- 4.1. MULTIMI NUMERICE-liceu (20)
- 4.2. NUMERE REALE-liceu (8)
- 4.3. NUMERE COMPLEXE-liceu (12)
- 4.4. IDENTITATI ALGEBRICE REMARCABILE-liceu (10)
- 4.5. INEGALITATI-liceu (17)
- 4.6. INECUATII-liceu (20)
- 4.7. ECUATII DIOFANTICE-liceu (5)
- 4.8. ECUATII ALGEBRICE-liceu (27)
- 4.9. ECUATII TRANSCENDENTE-liceu (26)
- 4.10. PROGRESII-liceu (17)
- 4.11. COMBINATORICA-liceu (10)
- 4.12. BINOMUL LUI NEWTON-liceu (6)
- 4.13. LOGARITMI-liceu (21)
- 4.14. PROBABILITATI-liceu (21)
- 4.15. PERMUTARI (SUBSTITUTII)-liceu (7)
- 4.16. SUME-liceu (14)
- 4.17. DETERMINANTI-liceu (14)
- 4.18. MATRICE-liceu (22)
- 4.19. SISTEME DE ECUATII LINIARE-liceu (12)
- 4.20. SISTEME DE ECUATII NELINIARE-liceu (12)
- 4.21. LEGI DE COMPOZITIE-liceu (8)
- 4.22. CLASE DE RESTURI MODULO n - liceu (9)
- 4.23. GRUPURI-liceu (8)
- 4.24. INELE SI CORPURI-liceu (5)
- 4.25. POLINOAME CU COEFICIENTI INTR-UN INEL COMUTATIV. (2)
- 4.26. POLINOAME CU COEFICIENTI REALI-liceu (14)
- 4.27. POLINOAME CU COEFICIENTI COMPLECSI-liceu (7)
- 4.28. RELATII-liceu (1)
- 4.29. RELATIA DE DIVIZIBILITATE IN INELUL INTREGILOR-liceu (13)
- 4.30. RELATIA DE DIVIZIBILITATE IN INELUL POLINOAMELOR-liceu (9)
- 4.31. FUNCTII (generalitati)-liceu (38)
- 4.32. FUNCTII INVERSABILE-liceu (20)
- 4.33. FUNCTII ELEMENTARE-liceu (21)
- 4.34. FUNCTII SPECIALE-liceu (17)
- 4.35. GRAFICE DE FUNCTII ELEMENTARE-liceu (11)
- 4.36. LIMITE DE SIRURI-liceu (27)
- 4.37. LIMITE DE FUNCTII-liceu (14)
- 4.38. FUNCTII CONTINUE-liceu (11)
- 4.39. FUNCTII DERIVABILE-liceu (19)
- 4.40. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR-liceu (7)
- 4.41. DIFERENTIALA UNEI FUNCTII DERIVABILE-liceu (3)
- 4.42. FUNCTII CONVEXE, FUNCTII CONCAVE-liceu (4)
- 4.43. PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE-liceu (14)
- 4.44. PUNCTE CRITICE-liceu (5)
- 4.45. PUNCTE UNGHIULARE, PUNCTE DE INTOARCERE-liceu (6)
- 4.46. PRIMITIVE-liceu (19)
- 4.47. INTEGRALE DEFINITE-liceu (35)
- 4.48. SCHIMBARI DE VARIABILA-liceu (14)
- 4.49. APLICATII ALE INTEGRALEI DEFINITE-liceu (14)
- 4.50. VECTORI-liceu (14)
- 4.51. TRIGONOMETRIE-liceu (29)
- 4.52. APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE-liceu (13)
- 4.53. GEOMETRIE SINTETICA IN PLAN-liceu (40)
- 4.54. GEOMETRIE SINTETICA IN SPATIU-liceu (21)
- 4.55. GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN-liceu (40)
- 4.56. GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU-liceu (18)
- 5. ALGORITMI IN MATEMATICA DE LICEU