Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 10

Suport teoretic:

Determinanti Vandermonde,functii trigonometrice,identitati trigonometrice,ecuatii trigonometrice,operatii cu multimi.

Enunt:

Se da functia f:D - > R, definita prin legea:

f(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\tgx&tg2x&tg3x\\tg^2x&tg^22x&tg^23x\end{vmatrix}.f(x)=\begin{vmatrix}1&1&1\\tgx&tg2x&tg3x\\tg^2x&tg^22x&tg^23x\end{vmatrix}.

a) Sa se determine domeniul sau maxim de definitie D.

b) Sa se rezolve ecuatia f(x) = 0.

Raspuns:

a) D = R\{{(2l+1)π/4)|lЄZ}U{(2m+1)π/6)|mЄZ}}.

b)\;S=\{\frac{k\pi}{3}|k\in{\mathbb{Z}}\}.b)\;S=\{\frac{k\pi}{3}|k\in{\mathbb{Z}}\}.   

Rezolvare:

a) Determinantul este cunoscut sub numele Vandermonde si, deci:

f(x) = (tg2x - tgx)(tg3x - tgx)(tg3x - tg2x).

Folosind identitati trigonometrice cunoscute, se obtine in final:

f(x)={\frac{sinx}{cos2xcosx}}\cdot{\frac{sin2x}{cos3xcosx}}\cdot{\frac{sinx}{cos3xcos2x}}\cdotf(x)={\frac{sinx}{cos2xcosx}}\cdot{\frac{sin2x}{cos3xcosx}}\cdot{\frac{sinx}{cos3xcos2x}}\cdot

Rezulta:

D = R\{xЄR|(cosx=0)sau(cos2x=0)sau(cos3x=0)} =

= R\{xЄR|(x=(2k+1)π/2)sau(2x=(2l+1)π/2)sau(3x=2m+1)π/2);k,l,mЄZ} =

= R\{xЄR|(x=(2k+1)π/2)sau(x=(2l+1)π/4)sau(x=2m+1)π/6);k,l,mЄZ}.

Notand A = {(2k+1)π/2)|kЄZ}, B = {(2l+1)π/4)|lЄZ} si C = {(2m+1)π/6)|mЄZ}, avem

D = R\{xЄR|xЄAUBUC}.

Cum multimea A este inclusa in multimea C (multiplii impari de π/2 sunt printre

multiplii impari de  π/6), iar multimile B si C sunt disjuncte, rezulta ca 

D = R\{BUC} = R\{{(2l+1)π/4)|lЄZ}U{(2m+1)π/6)|mЄZ}}.

b) {f(x)=0}\Leftrightarrow{\frac{sinx}{cos2xcosx}}\cdot{\frac{sin2x}{cos3xcosx}}\cdot{\frac{sinx}{cos3xcos2x}=0}b) {f(x)=0}\Leftrightarrow{\frac{sinx}{cos2xcosx}}\cdot{\frac{sin2x}{cos3xcosx}}\cdot{\frac{sinx}{cos3xcos2x}=0} \Leftrightarrow\Leftrightarrow

\Leftrightarrow\Leftrightarrow (sinx=0)\;(sinx=0)\; sau\;(sin2x=0)sau\;(sin2x=0) \;sau\;(sin3x=0).\;Rezulta\;imediat:\;sau\;(sin3x=0).\;Rezulta\;imediat:

x\in{\{\frac{k\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\}\cup\{\frac{l\pi}{3}|l\in{\mathbb{Z}}\}}.x\in{\{\frac{k\pi}{2}|k\in{\mathbb{Z}}\}\cup\{\frac{l\pi}{3}|l\in{\mathbb{Z}}\}}.

Tinand cont de domeniul D, deducem ca solutia ecuatiei f(x) = 0 este multimea:

S=\{\frac{k\pi}{3}|k\in{\mathbb{Z}}\}.S=\{\frac{k\pi}{3}|k\in{\mathbb{Z}}\}.   

Postat în: DETERMINANTI-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan