Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 04 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 10

Suport teoretic:

Siruri recurente,suma numere naturale,divizibilitate in N.

Enunt: 

Sa se arate ca suma primilor n termeni ai sirului recurent definit prin

\frac{x_{n+1}-x_n}{2}=n+1,\;x_1=3\frac{x_{n+1}-x_n}{2}=n+1,\;x_1=3

este divizibila cu n.

Rezolvare:

Din relaţia de recurenţă obţinem succesiv:

\frac{x_2-x_1}{2}=2,\;\frac{x_3-x_2}{2}=3,\cdots,\frac{x_n-x_{n-1}}{2}=n.\frac{x_2-x_1}{2}=2,\;\frac{x_3-x_2}{2}=3,\cdots,\frac{x_n-x_{n-1}}{2}=n.

Prin adunarea, membru cu membru, a acestor egalităţi, se obţine în final:

{\frac{x_n}{2}-\frac{x_1}{2}=2+3+\cdots+n}\Leftrightarrow{x_n=n^2+n+1}.{\frac{x_n}{2}-\frac{x_1}{2}=2+3+\cdots+n}\Leftrightarrow{x_n=n^2+n+1}.

Deci:

\sum_{k=1}^{k=n}{x_k}=\sum_{k=1}^{k=n}{k^2}+\sum_{k=1}^{k=n}{k}+\sum_{k=1}^{k=n}{1}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}+n.\sum_{k=1}^{k=n}{x_k}=\sum_{k=1}^{k=n}{k^2}+\sum_{k=1}^{k=n}{k}+\sum_{k=1}^{k=n}{1}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}+n.

Se ţine cont că rezultatul este număr natural şi că se poate scoate în

acesta factor comun n.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan