Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 03 Noiembrie, 2014

EXERCITIUL 10

Suport teoretic:

Limite de functii,inductie matematica,limite remarcabile,calcul primitive.

Enunt:

Fie functia fo:R -> R, fo(x) = 1.

Notand

{f}_{k}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},{f}_{k}(x)=\int{f}_{k-1}(x){dx},\forall{k}\in{{\mathbb{N}}^*},{f}_{k}:{\mathbb{R}}\rightarrow{\mathbb{R}},{f}_{k}(x)=\int{f}_{k-1}(x){dx},\forall{k}\in{{\mathbb{N}}^*},

sa se calculeze:  

L=\lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{f}_{n}(x),L=\lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{f}_{n}(x),

stiind ca fn(0) = 1, pentru orice n natural.

Raspuns:

L={e}^{x}.L={e}^{x}.

Rezolvare:

Se gaseste, cu usurinta,

f1(x) = x + 1, f2(x) = x²/2! + x + 1, f3(x) = x³/3! + x²/2 + x + 1.

Se intuieste ca

{f}_{n}(x) = \frac{x^n}{n!} +\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + ... +\frac{x^{n-k}}{(n-k)!} + ... + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^1}{1!} + x +1,\forall{n}\in{\mathbb{N}}.{f}_{n}(x) = \frac{x^n}{n!} +\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + ... +\frac{x^{n-k}}{(n-k)!} + ... + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^1}{1!} + x +1,\forall{n}\in{\mathbb{N}}.

Se demonstreaza, apoi, aceasta propozitie, prin inductie matematica.

In final, conform unei formule cunoscute, se obtine:

L={e}^{x}.L={e}^{x}.

Postat în: PRIMITIVE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic

Developed by Hagau Ioan