Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 05 August, 2016

EXERCITIUL 10

Suport teoretic:

Integrarea functiilor irationale,schimbari de variabila .

Enunt:

Sa se calculeze, pentru x > 1 :

I=\int{\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx}\;.I=\int{\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx}\;.  

Raspuns:

I=-\frac{t}{t^2-1}+ln{\frac{1-t}{t+1}}+\mathcal{C}\;,undeI=-\frac{t}{t^2-1}+ln{\frac{1-t}{t+1}}+\mathcal{C}\;,unde t=\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;.t=\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;.  

Rezolvare:

Fie\;\sqrt{\frac{x}{x+1}}={t}\;,unde \;0 < t < 1\;.Fie\;\sqrt{\frac{x}{x+1}}={t}\;,unde \;0 < t < 1\;.

Rezulta, cu usurinta:

x=\frac{t^2}{1-t^2}\;si\;,de\;aici\;,dx=\frac{2t}{(1-t^2)^2}dt\;.x=\frac{t^2}{1-t^2}\;si\;,de\;aici\;,dx=\frac{2t}{(1-t^2)^2}dt\;.

Deci:

I={2}\cdot{\int{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{t^2}{(t^2-1)^2}}dt}\;.I={2}\cdot{\int{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{t^2}{(t^2-1)^2}}dt}\;.

Tinand cont de  http://www.profesoronline.ro/exercitiul_18-4279-1.html , obtinem:

I=2\cdot(-\frac{1}{2})\cdot(\frac{t}{t^2-1}-{\frac{1}{2}}\cdot{ln{\frac{1-t}{t+1}})}+\mathcal{C}=-\frac{t}{t^2-1}+ln{\frac{1-t}{t+1}}+\mathcal{C}\;,undeI=2\cdot(-\frac{1}{2})\cdot(\frac{t}{t^2-1}-{\frac{1}{2}}\cdot{ln{\frac{1-t}{t+1}})}+\mathcal{C}=-\frac{t}{t^2-1}+ln{\frac{1-t}{t+1}}+\mathcal{C}\;,unde  

t=\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;.t=\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Heloise

8Cmyl8A4eA, 15.08.2016 20:09

Clear, inrftmaoive, simple. Could I send you some e-hugs?

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan