Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

»SCHIMBARI DE VARIABILA-liceu

Data publicarii: 14 Iulie, 2011

EXERCITIUL 1

Suport teoretic:

Integrale definite,schimbari variabila,progresii geometrice.

Enunt:

Sa se arate ca numarul real

$I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}$ I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}

este cuprins intre doi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice cu ratia

numarul real e.

Raspuns:

${2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.$ {2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.

Rezolvare:

Cu schimbarea de variabila

$\sqrt{1+lnx}=t$ \sqrt{1+lnx}=t

obtinem:

$I={\frac{2}{e}}\cdot{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}}{dt}.$ I={\frac{2}{e}}\cdot{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}}{dt}.

Din ${\sqrt{2}}\le{t}\le{\sqrt{3}}$ {\sqrt{2}}\le{t}\le{\sqrt{3}}

obtinem cu usurinta

${e^2}\le{e^{t^2}}\le{e^3},$ {e^2}\le{e^{t^2}}\le{e^3},

de unde, in baza proprietatii de monotonie a integralei definite, rezulta dubla inegalitate:

${\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^2}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^3}{dt}},\;etc.$ {\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^2}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^3}{dt}},\;etc.

Postat în: SCHIMBARI DE VARIABILA-liceu

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

EXERCITIUL 1

Răspunsuri şi comentarii

CATEGORII :

Arhiva blog-ului