Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 14 Iulie, 2011

EXERCITIUL 1

Suport teoretic:

Integrale definite,schimbari variabila,progresii geometrice.

Enunt:

Sa se arate ca numarul real

I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}

este cuprins intre doi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice cu ratia

numarul real e.

Raspuns:

{2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.{2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.

Rezolvare:

Cu schimbarea de variabila

\sqrt{1+lnx}=t\sqrt{1+lnx}=t

obtinem:

I={\frac{2}{e}}\cdot{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}}{dt}.I={\frac{2}{e}}\cdot{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}}{dt}.

Din {\sqrt{2}}\le{t}\le{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\le{t}\le{\sqrt{3}}

obtinem cu usurinta

{e^2}\le{e^{t^2}}\le{e^3},{e^2}\le{e^{t^2}}\le{e^3},

de unde, in baza proprietatii de monotonie a integralei definite, rezulta dubla inegalitate:

{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^2}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^3}{dt}},\;etc.{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^2}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^{t^2}}{dt}}\le{\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}{e^3}{dt}},\;etc.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan