Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 22 Iunie, 2010

EXERCITIUL 1

Suport teoretic:

Sisteme liniare,metoda Gauss,sisteme compatibile determinate.

Enunt:

Sa se rezolve, in multimea numerelor reale, urmatorul sistem liniar folosind

metoda lui Gauss:

\begin{cases}x-2y+z=0\\2x+y-z=1\\-3x+y+z=2\end{cases}.\begin{cases}x-2y+z=0\\2x+y-z=1\\-3x+y+z=2\end{cases}.

Raspuns:

x = 1, y = 2, z = 3.

Rezolvare:

Scriem matricea extinsa asociata sistemului si, cu ajutorul transformarilor elementare, 

o aducem la forma triunghiulara sau trapezoidala:

\begin{cases}x-2y+z=0\\2x+y-z=1\\-3x+y+z=2\end{cases}{\rightarrow}\begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&0\\2&1&-1&\vdots&1\\-3&1&1&\vdots&2\end{pmatrix}{\rightarrow}\begin{bmatrix}{-2L_1+L_2}\\{3L_1+L_3}\end{bmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&0\\0&5&-3&\vdots&1\\0&-5&4&\vdots&2\end{pmatrix}\begin{cases}x-2y+z=0\\2x+y-z=1\\-3x+y+z=2\end{cases}{\rightarrow}\begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&0\\2&1&-1&\vdots&1\\-3&1&1&\vdots&2\end{pmatrix}{\rightarrow}\begin{bmatrix}{-2L_1+L_2}\\{3L_1+L_3}\end{bmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&0\\0&5&-3&\vdots&1\\0&-5&4&\vdots&2\end{pmatrix} {\rightarrow}\begin{bmatrix}L_2+L_3\end{bmatrix}{\rightarrow}{\rightarrow}\begin{bmatrix}L_2+L_3\end{bmatrix}{\rightarrow} \begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&0\\0&5&-3&\vdots&1\\0&0&1&\vdots&3\end{pmatrix}{\longrightarrow}\begin{cases}x-2y+z=0\\0x+5y-3z=1\\0x+0y+z=3\end{cases}.\begin{pmatrix}1&-2&1&\vdots&0\\0&5&-3&\vdots&1\\0&0&1&\vdots&3\end{pmatrix}{\longrightarrow}\begin{cases}x-2y+z=0\\0x+5y-3z=1\\0x+0y+z=3\end{cases}.

Din sistemul obtinut la final (echivalent cu primul!), se obtine imediat solutia.

Observatii:

1) Linia punctata din matricele de mai sus are rolul de a face vizibili termenii liberi

ai sistemelor;

2) Matricea sistemului final (exceptand coloana termenilor liberi) are forma

triunghiulara, deci din acel moment se stie ca sistemul este compatibil determinat. 


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Mate

Cristi, 08.02.2018 10:53

3x-y-z=1 ×+y= 2y-z=1

Răspuns: Di ultima ecuatie avem z = 2y - 1 si, inlocuind in prima ecuatie, obtinem o ecuatie in x si y, pe care o cuplam cu x+y = 1 etc...

a

Gabby, 27.10.2016 00:00

Mulmumesc pt. ajutor!

Răspuns: Cu multa placere!

Interes

Dumitru, 15.09.2013 19:29

metoda este un din cele mai usoare

Răspuns: 0

bbb

ioana, 13.05.2013 21:36

va multumesc

Răspuns: 0

bine

yor, 02.02.2013 19:42

da este explicat foarte bine

Răspuns: 0

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan