Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 22 August, 2010

EXERCITIUL 1

Suport teoretic:

Legi compozitie,grupuri abeliene,monoid comutativ,inele comutative,divizori zero,

inele integre.

Enunt:

Sa se afle numerele intregi a si b, astfel incat tripletul 

{(\mathbb{Z},\oplus,\otimes)},\;unde \;{x}\oplus{y}=x+y+a\;si\;{x}\otimes{y}=xy+bx+by+a,\;\forall{x,y}\in{\mathbb{Z}},{(\mathbb{Z},\oplus,\otimes)},\;unde \;{x}\oplus{y}=x+y+a\;si\;{x}\otimes{y}=xy+bx+by+a,\;\forall{x,y}\in{\mathbb{Z}},

sa fie inel integru (inel comutativ cu cel putin 2 elemente,

fara divizori ai lui zero).

Raspuns:

a = b = 0, sau a = b = 2.

Rezolvare:

Se impune mai intai ca perechea (\mathbb{Z},\oplus)(\mathbb{Z},\oplus)

sa constituie grup abelian si se obtine ca elementul neutru al acestuia este

e = -a, iar simetricul oricarui element x este x' = -2a - x.

Din conditia ca perechea (\mathbb{Z},\otimes)(\mathbb{Z},\otimes)  

sa fie monoid comutativ se obtine relatia a - b² + b = 0 (asociativitate),

elementul neutru al acestuia este e' = 1 - b,  iar din proprietatea de

distributivitate a legii multiplicative fata de legea aditiva rezulta

a = b si ab - 2a = 0.

Finalizand, se gaseste raspunsul de mai sus.

Inexistenta divizorilor lui zero se probeaza usor, aratand ca oricare ar fi

2 elemente nenule (diferite de elementul neutru al grupului (\mathbb{Z},\oplus)),(\mathbb{Z},\oplus)),  

produsul lor (compusul acestora prin legea monoidului) este nenul. 


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Johanes

saRJf3HKmz, 22.06.2014 22:18

Finndig this post. It's just a big piece of luck for me.

Răspuns: 0

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan